Помогите, пожалуйста, разобраться с весами при аппроксимации

[oliva]

Здравствуйте уважаемые!
Что-то никак не могу разобраться с сутью весов при аппроксимации ортогональными многочленами.
В умных книжках когда доказывается ортогональность, например, многочленов Чебышева, показывается, что вес определяется из выражения $$\frac{1}{\sqrt{(1-x ^2)}}$

И тут же (или гдето поблизости) говорится, что вес задается в зависимости от степени доверия экспериментальным данным!
Означает ли факт выбора веса произвольным, что условие ортогональности не будет выполняться?

[antbez]

Цитата:

И тут же (или гдето поблизости) говорится, что вес задается в зависимости от степени доверия экспериментальным данным!

Вес должен определяться так же чётко, как, и к примеру, нормировочная константа

[oliva]

вне зависимости от положения и качаства точек ?

[TOTAL]

Система многочленов ортогональна на $[-1; 1]$ с весом $\frac{1}{\sqrt{(1-x ^2)}}$. Этот вес не выбирается.
А вторые веса имеют какой-то другой смысл. Нет противоречия.
(Возможно, вторые веса - это коэффициенты, линейной комбинацией с которыми, что-то приближается с помощью многочленов.)

[ewert]

Любая система ортогональных многочленов однозначно (с точностью до нормировки) задаётся именно весом.

С этой точки зрения многочленами Чебышёва по определению называются те, которые ортогональны с весом ${1\over\sqrt{1-x^2}}$. Почему вес задаётся именно так -- вопрос отдельный (изначально многочлены Чебышёва вводятся из совсем других соображений, и лишь потом оказывается, что они ортогональны именно в этом смысле).

Когда говорят, что вес определяется погрешностью экспериментальных данных -- подразумевают абстрактный метод наименьших квадратов, причём дискретный.

[TOTAL]

oliva писал(а):

И тут же (или гдето поблизости) говорится, что вес задается в зависимости от степени доверия экспериментальным данным!
Означает ли факт выбора веса произвольным, что условие ортогональности не будет выполняться?

Возможно, ситуация следующая. Имеются экспериментальные данные, которым мы больше доверяем при каких-то значениях аргумента. Для вычисления (квадратичной) погрешности при аппроксимации таких данных используется весовая функция, которая имеет большие значения в областях наибольшего деверия. Для этой же весовой функции можно получить и систему ортогональных полиномов.

[oliva]

TOTAL писал(а):

...
Для вычисления (квадратичной) погрешности при аппроксимации таких данных используется весовая функция, которая имеет большие значения в областях наибольшего деверия. Для этой же весовой функции можно получить и систему ортогональных полиномов.

Правильно ли я понял:
Для каждой весовой функции можем сформировать систему ортогональных полиномов (с помощью ортогонализации Шмидта). А если весовая функция $$\frac{1}{\sqrt{(1-x ^2)}}$ и х в диапазоне -1...1, то эта система функций - полиномы Чебышева.

[ewert]

да. Именно так. Но к аппроксимации экспериментальных результатов, когда веса задаются наобум (точнее, исходя из инструментальных характеристик) это отношения не имеет.

[oliva]

Допуситм такую ситуацию:
Дан набор точек (х,у) в диапазоне х Є [-1...1] . Аппроксимируем эти точки полиномами Чебышева при весе $$\frac{1}{\sqrt{(1-x ^2)}}$.
Можем ли мы считать полиномы Чебышева ортогональными при этом ?

Чувствую, что нет. Но почему ?

Добавлено спустя 2 минуты 32 секунды:

Наверное потому нет, что система ортогональных функций определяется не только весом, но и положением точек аргумента х.
Верно ?

[ewert]

Отсутствует логика. Многочлены Чебышёва -- это вещь в себе. Их можно и нужно считать ортогональными, ибо они такие и есть. Имеет ли смысл приближать данные именно с их помощью -- вопрос совсем другой. Это зависит от того, какой критерий приближения считать разумным. Для экспериментальных данных -- скорее всего, не имеет.

[antbez]

Почему нет? Полиномы Чебышёва на заданном промежутке с заданным весом всегда ортогональны!

[Brukvalub]

oliva в сообщении #159853 писал(а):

Аппроксимируем эти точки полиномами Чебышева

Это как?

[oliva]

Вот до чего я додумался:
Честно говоря я не очень владею мат-тегами и поэтому прошу пардон за объяснения "на пальцах".

Когда мы хотим аппроксимировать некоторые данные методом наименьших квадратов с помощью системы функций мы имеем систему нормальных уравнений. Если выполняется условие ортогональности, (которое для данного случая записывают в виде суммы попарных произведений функций в точках), то решение такой системы существенно упрощается. Если для любой совокупности точек х мы вместо системы функций возьмем полиномы Чебышева, то условие ортогональности не выполнится. Оно выполнится только в случае бесконечно большочо числа точек (когда сумма превратится в интеграл) или когда это будут не полиномы Чебышева, а полиномы рассчитанные с помошью метода Шмидта.

Правильно ли я понимаю ситуацию ?

[ewert]

да, в общем, правильно. Особенно в том смысле, что ортогонализация базисных функций в случае дискретного МНК практически бесполезна.

За исключением случаев, когда она возникает естественным путём, как, скажем, в дискретном преобразовании Фурье (и в некоторых более экзотических ситуациях).

[oliva]

Спасибо за консультацию. Все стало на свои места.