матрицы с диагонально-строчным преобладанием

[Enot-poloskun]

дана матрицы с диагонально-строчным преобладанием во всех строках, кроме одной (пусть p-й). доказать, что она невырожденная.

пытаюсь доказать от противного, выводя неравенства для диагональных элементов, но что-то как-то не очень.

предлагали через круги Гершгорина, но я не пойму, как ими воспользоваться.

[ewert]

а что подразумевается под диагонально-строчным преобладанием?

Стандартная формулировка звучит так: невырожденность гарантирована, если во всех строчках есть нестрогое преобладание, и при этом хотя бы в одной строчке -- строгое.

[TOTAL]

Enot-poloskun писал(а):

дана матрицы с диагонально-строчным преобладанием во всех строках, кроме одной (пусть p-й). доказать, что она невырожденная.

И не докажете, т.к. матрица может быть вырожденной.

[Enot-poloskun]

2 ewert: строчное диагональное преобладание = модуль диагонального элемента больше суммы модулей всех остальных элементов этой строки.

Передо мной теорема Леви-Деспланка: матрица имеющая строчное или столбцовое диагональное преобладание - невырождена. О нестрогих неравенствах слова нет. Вы где-то видели подобную теорему? Могли бы тогда указать источник?

2 TOTAL: вот так поворот событий) не подскажете примерчик, если меня до вечера не осенит?

[TOTAL]

Enot-poloskun писал(а):

2 TOTAL: вот так поворот событий) не подскажете примерчик, если меня до вечера не осенит?

Вот матрица $2 \times 2$
2 1
2 1

[ewert]

Enot-poloskun в сообщении #159875 писал(а):

2 ewert: строчное диагональное преобладание = модуль диагонального элемента больше суммы модулей всех остальных элементов этой строки.

Передо мной теорема Леви-Деспланка: матрица имеющая строчное или столбцовое диагональное преобладание - невырождена. О нестрогих неравенствах слова нет. Вы где-то видели подобную теорему? Могли бы тогда указать источник?

Я оговорился, имелась в виду более слабая формулировка: матрица имеет нестрогое диагональное преобладание, и во всех строчках, кроме, может быть, одной, это преобладание строгое.

Ссылки дать не могу, надо копаться в книжках, но эта теорема довольно легко доказывается.

[Really]

ewert в сообщении #159895 писал(а):

Я оговорился, имелась в виду более слабая формулировка: матрица имеет нестрогое диагональное преобладание, и во всех строчках, кроме, может быть, одной, это преобладание строгое.

Ссылки дать не могу, надо копаться в книжках, но эта теорема довольно легко доказывается.

Точно помню, что видел в Икрамов Х.Д. — Несимметричная проблема собственных значений. Этот и смежные вопросы там весьма подробно рассмотрены.