Сечение Дедикинда. Континуум.

[Amigo]

Дедикиндово сечение считается заданным, если выполнены два условия:
1.Всякое рациональное число лежит в одном и только в одном классе.
2.Каждое рациональное число верхнего класса больше всякого числа нижнего класса.
Имеются две ситуации:
А)Либо в верхнем классе имеется наименьший, либо в нижнем наибольший элемент.
Б)Ни в верхнем нет наименьшего, ни в нижнем нет наибольшего.
В случае а) число считается рациональным, в случае б) иррациональным.
Известно, что |R|>|Q| (теорема Кантора) вопрос: откуда это следует?
Точнее: откуда мы знаем, что такое вообще R? Ведь R=Q+I, где I- множество иррациональных чисел, так почём известно, что |I|>|Q|? Когда мы следуем Дедикинду,
мы как бы говорим – «Множество всех тех чисел, которые обладают свойством (б)
суть иррациональные числа». Но вопрос: откуда известно, что таких чисел более чем счётно? В тех учебниках, что я читал, приводился один и тот же пример, а именно:
бралось число корень из двух и доказывалось, что сечение в области рациональных чисел построенное для корня из двух как раз и обладает свойством (б). Но откуда следует, что кроме корня из двух имеются ещё какие-либо иные числа, такие, что построенное для них сечение также обладает свойством (б)? Я готов согласиться с тем, что для числа p – если последнее простое, корень любой степени из этого числа есть число иррациональное. Но ведь таких чисел также всего лишь счётно. Откуда же берётся континуум? Помимо простых чисел, можно ещё указать множество иных, для которых существует сечение типа (б). Но даже если бы мы указали вообще все рациональные числа, то мы бы получили не более чем счётное число сечений обладающих свойством (б). И стало быть, мы бы пополнили Q – не более чем счётным числом иррациональных чисел. Даже если бы мы записали на русском языке все условия, задающие какие либо числа, например «Все числа делящиеся на 5 и 17», а затем для них построили бы сечения, то мы бы получили не белее чем счётное множество счётных множеств чисел. Поскольку, каждое условие может задать не более чем счётное множество чисел (а если бы было хоть одно условие задающее сразу весь континуум, то на кой шут нам вообще это сечение Дедикинда? Взяли бы такое условие и сказали – «вот вам определение континуума» и всё «ок» без всякого Дедикинда)а самих условий также счётно (все фразы языка можно занумеровать в лексикографическом порядке). Таким образом и здесь, мы сталкиваемся с ситуацией, что у нас множество Q пополняется не более чем счётным набором чисел. Так откуда берётся континуум? На каком этапе в «схеме» Дедикинда возникает континуум?

[PAV]

У "схемы" Дедекинда нет этапов. Есть множество рациональных чисел - оно счетно, а есть множество сечений, которое можно считать реализацией множества вещественных чисел, которое более чем счетно. Вещественные числа не строятся добавлением к рациональным числам "каких-то других".

Корень из двух не имеет к доказательству несчетности никакого отношения. Доказательство основано на том свойстве вещественных чисел (которым не обладают рациональные, которое является одной из аксиом вещественных чисел и которое легко доказать в конструкции вещественных чисел через сечения), что любая вложенная система отрезков имеет хотя бы одну общую точку.

[Amigo]

PAV писал(а):

У "схемы" Дедекинда нет этапов. Есть множество рациональных чисел - оно счетно, а есть множество сечений, которое можно считать реализацией множества вещественных чисел, которое более чем счетно.

Откуда известно, что таких сечений больше чем рациональных чисел?

PAV писал(а):

Вещественные числа не строятся добавлением к рациональным числам "каких-то других".

А как тогда они строятся? Аксиоматически? Зачем тогда нужно сечение Дедикинда? На кой шут его ввели в анализ?

PAV писал(а):

Корень из двух не имеет к доказательству несчетности никакого отношения.

Вот я и мне так кажется, но зачем этот пример приводить во всех учебниках тогда?

PAV писал(а):

Доказательство основано на том свойстве вещественных чисел (которым не обладают рациональные, которое является одной из аксиом вещественных чисел и которое легко доказать в конструкции вещественных чисел через сечения), что любая вложенная система отрезков имеет хотя бы одну общую точку.

Так я не пойму, мы континуум аксиоматизируем что-ли? Не могли бы Вы тогда записать эту аксиому на формальном языке? Не очень ясен также аспект с понятием "отрезок". Откуда в множестве рациональных чисел берутся отрезки? Отрезок есть там где есть непрерывность,а в рациональных числах одно сплошное решето.

[PAV]

Amigo в сообщении #159156 писал(а):

А как тогда они строятся? Аксиоматически? Зачем тогда нужно сечение Дедикинда? На кой шут его ввели в анализ?

Существуют различные способы задания вещественных чисел. Есть аксиоматический. А есть - через сечения. Можно сказать, что сечения представляют собой конструкцию. Весьма наглядную и удобную, на мой взгляд.

Amigo в сообщении #159156 писал(а):

Вот я и мне так кажется, но зачем этот пример приводить во всех учебниках тогда?

Этот пример для чего-то другого.

Я могу привести доказательство несчетности, оно совсем короткое. Только сперва нужно, чтобы Вы осознали и согласились с тем свойством, на котором оно основано. Вот его формальное описание. Пусть имеется счетная вложенная система отрезков $[a_1,b_1]$, $[a_2,b_2]$, ... Вложенность формально означает следующее: последовательность $a_i$ является неубывающей ($a_1\le a_2\le a_3\le\cdots$), последовательность $b_i$ - невозрастающей ($b_1\ge b_2\ge b_3\ge\cdots$) и для любой пары индексов верно $a_i<b_j$. Тогда существует вещественное число $x$, которое принадлежит всем этим отрезкам, т.е. $a_i\le x\le b_i$ для любого $i$. Это свойство наглядно означает, что на вещественной прямой нет "дырок".

Вы согласны принять это свойство? Его из конструкции можно доказать.

[ewert]

Говоря короче.

Корень из двух (вообще из рациональных чисел) действительно не имеет никакого отношения к несчётности вещественных.

Вещественные числа возникают из желания обеспечить "полноту" числового множества, т.е. сходимость всех фундаментальных последовательностей. Процедура пополнения весьма абстрактна; дедекиндовы сечения -- это один из способов более-менее конструктивной реализации этой процедуры.

Ещё более конструктивной реализацией является отождествление вещественных чисел с бесконечными десятичными (или двоичными, или ещё какими, по вкусу) дробями. В рамках такой модели заодно и несчётность оказывается довольно-таки наглядной.

[Amigo]

PAV писал(а):

Вы согласны принять это свойство? Его из конструкции можно доказать.

Нет. Не согласен. Мы исходим из того, что у нас имеются только рациональные числа.
Откуда берутся отрезки в области рациональных чисел? Такое ощущение, что сказав слово "отрезок" Вы контрабандой протаскиваете непрерывность. Так а для чего нам тогда, вообще что-то доказывать? Ну отрезок и отрезок, он и сам непрерывен. Или у нас все $a_i b_i$ - рациональны, а под отрезком понимается мноежство всех РАЦИОНАЛЬНЫХ чисел x,
таких, что $a_i <x<b_i$ для фиксированного $i$? Откуда тогда может взяться точка пренадлежащая всем отрезкам? Она же будет не рациональна, а определение иных чисел мы не имеем. Что же мы доказываем тогда непойму?

[PAV]

Несчетность множества вещественных чисел доказывается после того, как мы его определили через сечения.

[Amigo]

PAV писал(а):

Несчетность множества вещественных чисел доказывается после того, как мы его определили через сечения.

Понял. То есть мы определяем по Дедикинду вещественное число, но не утверждаем, что их
более чем счётно. Затем принимаем Ваше положение, и отталкиваясь от него, приходим к выводу, что таких чисел более чем счётно, верно? Только я не пойму, что такое "отрезок".
Я так понимаю, что множество элементов x пренадлежащих отрезку, теперь состоит из рациональных чисел, но ещё и из тех, которые удовлетворяют определению Дедикинда, так?
Только я всё равно в упор не вижу, как можно доказать, что доопределив множество Q числами такого рода, мы можем доказать две вещи:
1. Мощность такого множества континуум
2. Ни каких дырок в R нет.

[PAV]

После определения вещественных чисел через сечения на них естественным образом вводится отношение порядка (по включению классов). Отрезок $[a,b]$ (концы - вещественные числа) - это по определению множество всех таких вещественных чисел $x$, что $a\le x\le b$. Нужно только отношение порядка.

В данном случае не стоит отдельно концентрироваться на том, что некоторые вещественные числа могут быть отождествлены с рациональными. Нам это сейчас не нужно. Сначала было множество рациональных чисел. На его основе определили сечения. Сечения назвали вещественными числами, определили на них порядок, операции сложения и умножения ну и все, что нужно. Потом, в сторонке, отдельным результатом, отметили, что некоторое подмножество этих вещественных чисел на самом деле можно отождествить с рациональными. Но в любом случае все вещественные числа - это изначально сечения.

Насчет дырок - это образное выражение.

Если вопросов нет, можно провести доказательство несчетности.

[Amigo]

PAV писал(а):

Насчет дырок - это образное выражение.

Если вопросов нет, можно провести доказательство несчетности.

Приведите пожалуйста, попробую вникнуть.

[PAV]

А доказательство в несколько строчек. Допустим, что множество всех вещественных чисел удалось пронумеровать: $x_1, x_2, x_3\cdots$. Возьмем отрезок $[0,1]$ и разделим его на три части: $[0,\frac13]$, $[\frac13,\frac23]$, $[\frac23,1]$. Число $x_1$ не может одновременно принадлежать всем трем этим отрезкам. Возьмем в качестве $[a_1,b_1]$ тот отрезок из числа этих трех, который данного числа не содержит.
Вторым шагом разделим этот полученный отрезок $[a_1,b_1]$ на три части и в качестве $[a_2,b_2]$ возьмем тот отрезок из числа этих трех, который не содержит числа $x_2$. По построению этот второй отрезок лежит в первом.
Затем его делим на три части и аналогично предыдущему получаем третий отрезок $[a_3,b_3]$, не содержащий числа $x_3$. И так далее.

Таким образом, определена вложенная последовательность отрезков. Она содержит некоторое вещественное число $x$, которое принадлежит всем построенным отрезкам, а, значит, не может совпадать ни с одним из $x_i$. Таким образом, пронумеровать все вещественные числа не получилось.

[Amigo]

PAV писал(а):

А доказательство в несколько строчек. Допустим, что множество всех вещественных чисел удалось пронумеровать: $x_1, x_2, x_3\cdots$. Возьмем отрезок $[0,1]$ и разделим его на три части: $[0,\frac13]$, $[\frac13,\frac23]$, $[\frac23,1]$. Число $x_1$ не может одновременно принадлежать всем трем этим отрезкам. Возьмем в качестве $[a_1,b_1]$ тот отрезок из числа этих трех, который данного числа не содержит.
Вторым шагом разделим этот полученный отрезок $[a_1,b_1]$ на три части и в качестве $[a_2,b_2]$ возьмем тот отрезок из числа этих трех, который не содержит числа $x_2$. По построению этот второй отрезок лежит в первом.
Затем его делим на три части и аналогично предыдущему получаем третий отрезок $[a_3,b_3]$, не содержащий числа $x_3$. И так далее.

Таким образом, определена вложенная последовательность отрезков. Она содержит некоторое вещественное число $x$, которое принадлежит всем построенным отрезкам, а, значит, не может совпадать ни с одним из $x_i$. Таким образом, пронумеровать все вещественные числа не получилось.

Доказательство в целом понятно, спасибо. Но остаётся ряд неясностей:
1. Когда мы говорим о введении новых иррациональных чисел, то обосновываем это тем, что обычных чисел не достаточно для потребностей геометрии и анализа. Часто приводится пример с диагональю квадрата имеющего длину стороны равную единице и показывается, что она не может быть выражена ни каким рациональным числом. Но меня интересует следующее: как можно доказать ОБЩИМ способом, что рациональных чисел не достаточно, или точнее: как доказать в общем виде, что множество рациональных чисел не обладает полнотой не прибегая к контрпримерам? Вдруг множество вещественных чисел также не обладает полнотой, а тот факт, что мы не имеем контрпримера нечего не доказавает.
Вот мы говорим -"Рассмотрев пример с корнем из двух, мы убеждаемся, что построенное для него сечение как раз обладает свойством (б)". А если бы мы не наткнулись на такой контрпример, чтобы тогда было? Вполне вероятно, что мы бы считали,что всякое сечение в области рациональных чисел - есть сечение типа (а). Но можно ли было бы провести ОБЩЕЕ рассуждение относительно рациональных чисел, такое, что оно несомненно бы сведетельствовало, что такая неполнота должна непременно быть?
2.Также непонятен вопрос с самими условиями задающие всякого рода сечения.
Откуда мы берем знания о том, какими вопросами относительно чисел задаваться можно а какими нет? Вот нам в голову пришло решить уравнение $x^2=2$ и тогда мы говорим -"такого
рационального числа нет". Ну и что, что нет? А на каких основаниях этот вопрос вообще может быть поставлен в теории рациональных чисел? Мы же не можем городить всё, что попало в любой теории. Чтобы Вы сказали, если бы в анатомии начали задаваться вопросами
о картографии и мореплавании? Как бы у всего есть свой предмет изучения, своя тема. Множество рациональных чисел является полем. Эти аксиомы задают определённые свойства чисел, например: для любого а существует элемент b такой, что a*b=1.
Ну и давайте ставить вопросы, которые связанны со свойствами сформулированными в аксиомах. Зачем задаваться вопросом о решении уравнения a*a=b ? Решение такого уравнения не аксиоматизированно в теории и не должно в общем случае иметь решения.
То есть, это как-бы и не вопрос вытекающий из сути того что оопределено. Попробую мысль пояснить ещё так: в формальных аксиоматических системах, часто требуется наличиие определённого разрешающего алгоритма, работающего по принципу -"свой - чужой" т.е.
позволяющего решить вопрос - "является ли некоторая комбинация знаков формулой нашей системы?". И если алгоритм даёт положительный ответ, то тогда можно уже задаваться другим вопросом - "выводима ли она в этой системе". То есть имеется чёткое разграничение -
в начале узнаётся - действительно ли то, что предлагается есть вопрос а не бред какой-нибудь и если "да" то разрешим ли он в рамках нашего формализма. А где у нас в теории рац. чисел такой алгоритм? Откуда мы узнаём, что та задача, которую мы ставим, например: поиск корней уравнения $x^2=2$ - это вопрос а не бред для теории рац. чисел? Законность вопроса откуда берётся? Вот в R, мы также могли бы задаться вопросом: существует ли x, такой, что x*x=-1? Ответ очевиден - такого числа нет. Значит R - также неполно? Но ведь известно, что в R уже ни каких дырок нет. Как же оно не полно? Опять же возникает вопрос о том, чем задаваться можно а чем нельзя. И кто накладывает ограничения на эти вопросы?
Может быть, на следующем шаге я задамся вопросом о том - "существует ли x, такой, что
x*x= бесконечноть, в степени пи делённое на корень из семнадцати". Можно ли мне задаваться таким вопросом? Вообщем, хотелось бы понять: какова терминология и правила соединения этих терминов в предложения, относительно которых можно задаваться какими либо вопросами?

[ewert]

Amigo в сообщении #160366 писал(а):

Когда мы говорим о введении новых иррациональных чисел, то обосновываем это тем, что обычных чисел не достаточно для потребностей геометрии и анализа. Часто приводится пример с диагональю квадрата имеющего длину стороны равную единице и показывается, что она не может быть выражена ни каким рациональным числом. Но меня интересует следующее: как можно доказать ОБЩИМ способом, что рациональных чисел не достаточно, или точнее: как доказать в общем виде, что множество рациональных чисел не обладает полнотой не прибегая к контрпримерам?

Тут некоторая путаница. Тот факт, что корень из двух нельзя представить рациональным числом, сам по себе вовсе не означает неполноты. Он лишь служит намёком на то, что в рациональных числах чего-то недостаёт.

Под полнотой понимается существование супремума у любого ограниченного сверху множества. Или (что эквивалентно) -- сходимость любой фундаментальной последовательности ("последовательности Коши"). Пример с корнем из двух позволяет формально убедиться в том, что интуитивно и без того ясно -- что полноты в смысле наличия супремумов нет.

Ну а потом конструкция Дедекинда даёт "пополнение", после которого с супремумами уже более-менее автоматически всё в порядке. После чего уже доказывается, что всё в порядке и с корнем из двух (именно после, а не до того!). Исходили бы мы вместо этого из фундаментальных последовательностей -- получили бы другую (но эквивалентную) конструкцию.

[AD]

Amigo в сообщении #160366 писал(а):

Вдруг множество вещественных чисел также не обладает полнотой, а тот факт, что мы не имеем контрпримера нечего не доказавает.

Полнота пространства вещественных чисел доказывается.

[ewert]

AD в сообщении #160408 писал(а):

Полнота пространства вещественных чисел доказывается.

Жульничество. Фактически она постулируется.