Линейные пространства

Igor999 · 17.11.2008, 02:28

Проверить, что множество всех многочленов, степени не выше второй, является линейным пространством. Определить размерность этого пространства.

Trotil · 17.11.2008, 02:37

Хм... Проверяйте. В общем виде.

ewert · 17.11.2008, 08:44

Эта реплика относилась к проверке линейности пространства.

С определением размерности действительно могут возникнуть формальные проблемы, хотя по существу всё и очевидно. Попытайтесь угадать, что естественно считать разложением произвольного многочлена по базису, и докажите, что слагаемые действительно линейно независимы.

Igor999 · 17.11.2008, 23:07

Можно ли доказательство записать так:

В линейном пространстве $K_2 [x]$ многочленов переменного $x$ степени не выше 2 элементы $x$ и $x^2$ линейно независимы: их линейная комбинация $\alpha x + \beta x^2$ есть многочлен, который равен нулю лишь при $\alpha = \beta = 0$ . В то же время пара этих элементов не образует базиса. Многочлен 1 нулевой степени, являющийся элементом $K_2 [x]$ , нельзя представить в виде линейной комбинации многочленов $x$ и $x^2$ . Значит, равенство $1 = \alpha x + \beta x^2$ двух многочленов невозможно ни при каких значениях коэффициентов.
В то же время три многочлена $1,x,x^2$ образуют базис линейного пространства $K_2 [x]$ . Во-первых, система многочленов $1,x,x^2$ линейно независима. Составим их линейную комбинацию с произвольными коэффициентами $\alpha ,\beta ,\wp$ и приравняем нулю: $\alpha *1 + \beta *x + \wp *x^2 = 0$ . Это равенство есть равенство двух многочленов, и оно возможно только в случае, когда коэффициенты этих двух многочленов совпадают. Значит, $\alpha = \beta = \wp = 0$ .
Во-вторых, через многочлены $1,x,x^2$ можно выразить любой многочлен второй степени, т.е. любой элемент линейного пространства $K_2 [x]$ можно представить в виде линейной комбинации указанных трех элементов. Возьмем произвольный многочлен $p(x) = \alpha + \beta x^2 + \wp x^2$ . Его запись можно рассматривать как линейную комбинацию многочленов $1,x,x^2$ : $p(x) = \alpha *1 + \beta x^2 + \wp x^2$ , причем коэффициенты многочлена в то же время являются коэффициентами линейной комбинации.
Итак, система трех многочленов $1,x,x^2$ линейно независима, а любой элемент линейного пространства $K_2 [x]$ является линейной комбинацией указанной системы. Система многочленов $1,x,x^2$ есть базис в $K_2 [x]$ .

Но у меня вопрос, как же определить размерность этого пространства?

Brukvalub · 17.11.2008, 23:17

Igor999 в сообщении #159284 писал(а):

Но у меня вопрос, как же определить размерность этого пространства?

А что такое размерность?

Igor999 · 17.11.2008, 23:49

Размерность линейного пространства - максимальное количество линейно независимых векторов в данном линейном пространстве.

bot · 18.11.2008, 06:10

Определение формально знаете, подро-о-о-бнейший пример (откуда Вы его переписали?) перед Вами ...
В чём проблема то?

Henrylee · 18.11.2008, 10:06

Igor999 писал(а):

Размерность линейного пространства - максимальное количество линейно независимых векторов в данном линейном пространстве.

Можно ли добавить к Вашей системе еще один многочлен так, чтобы новая система осталась линейно-независимой?

xaxa3217 · 18.11.2008, 10:17

в конечномерном линейном пространстве размерность, очевидно, равна мощности набора базисных элементов (количеству). это, вы уже, вообще говоря, подсчитали. кстати, если уж в такой простой задаче вы в своем же решении не видите ответ, то по-моему линейная независимость полиномов $x^i$ и $x^j$ при $i!=$ не должна быть такой очевидной. хоть какое-то обоснование, но должно быть.. и еще: несмотря на то, что равенство идет как бинарный оператор над векторами, лучше все-таки понимать, что на самом деле вектора-полиномы сравниваются в тождественном смысле, то есть по-точечно на всем пространстве $\mathbb{R}$

ewert · 18.11.2008, 12:42

Igor999 писал(а):

Составим их линейную комбинацию с произвольными коэффициентами $\alpha ,\beta ,\wp$ и приравняем нулю: $\alpha *1 + \beta *x + \wp *x^2 = 0$ . Это равенство есть равенство двух многочленов, и оно возможно только в случае, когда коэффициенты этих двух многочленов совпадают. Значит, $\alpha = \beta = \wp = 0$ .

Вот это-то как раз и есть нетривиальная часть доказательства -- тот факт, что из тождественного равенства нулю следует равенства нулю коэффициентов, требует формального обоснования.

Всё остальное верно, но слишком многословно. Согласно одному из эквивалентных определений базиса и размерности:

1) размерность -- это количество элементов базиса;

2) элементы образуют базис, если:
а) они линейно независимы;
б) любой элемент по ним раскладывается.

То, что любой многочлен раскладывается по $1$ , $x$ и $x^2$ -- тривиально, остаётся доказать независимость.

Научный форум dxdy

Линейные пространства