Задача максимизации

[volodja]

Пусть $\lambda_1$ - минимум множества тех $\lambda$, для которых задача

$$ \left\{ \begin{aligned} -\Delta_p u &= \lambda |u|^{p-2}u && \text{ в } \Omega, \\ u &= 0 && \text{ на } \partial\Omega. \end{aligned} \right. $$

имеет нетривиальное решение; такие $\lambda$ существуют и минимум $\lambda_1$ действительно достигается и положителен. Здесь $2 \le p < \infty$ и $\Delta_p u := \mathrm{div}(|\nabla u|^{p-2} \nabla u)$. Известно, что при $\lambda=\lambda_1$ вышеуказанная задача имеет положительное решение $\varphi \in H_0^{1,p}(\Omega) \cap C^{1,\alpha}(\bar\Omega)$ и что любое другое ее решение кратно $\varphi$.

Задача. Пусть функция $a \in L^\infty(\Omega)$ такова, что $a^+ := \max(a,0) \not\equiv 0$ и

$$ \int_\Omega a\varphi^q < 0, $$

где $2 \le p < q < p^* := pN/(N-p)$. Доказать, что найдется такое $\epsilon>0$, что

$$ 0 < \sup \left\{ \left. \int_\Omega a|u|^q \right| \int_\Omega |\nabla u|^p - \lambda \int_\Omega |u|^p = 1 \right\} < \infty $$

для любого $\lambda \in (\lambda_1,\lambda_1+\epsilon)$.