не заметил, что внутри двойные суммы
Кстати, совершенно напрасно не заметили: бросается ведь в глаза, что неравенство -- точное, и потому никакие огрубления при доказательстве не уместны.
Ну и уж для полноты картины -- четвёртый вариант доказательства. Кроме неравенства Коши-Буняковского есть ведь ещё и неравенство Гёльдера. Из которого

.
Как частный случай (

,

) получаем исходное неравенство...