доказать неравенство

[Asya]

доказать неравенство

$$\sqrt\frac{\sum\limits^N_{k=1} a_k^2}{N}>=\frac{\sum\limits^N_{k=1} a_k}{N}$$

для всех
$a_1, ....a_n$

[ewert]

Тупо возводим в квадрат. Поскольку $a_ia_k\leqslant{1\over2}(a_i^2+a_k^2)$, имеем:

$$\left({1\over n}\sum_{i=1}^na_i\right)^2={1\over n^2}\sum_{i,k=1}^na_ia_k\leqslant{1\over2n^2}\left(\sum_{i,k=1}^na_i^2+\sum_{i,k=1}^na_k^2\right)={1\over n}\sum_{i=1}^na_i^2$$

.

[Brukvalub]

ewert писал(а):

Тупо возводим в квадрат. Поскольку $a_ia_k\leqslant{1\over2}(a_i^2+a_k^2)$, имеем:

$${1\over n^2}\sum_{i,k=1}^na_ia_k\leqslant{1\over2n^2}\left(\sum_{i,k=1}^na_i^2+\sum_{i,k=1}^na_k^2\right)={1\over n}\sum_{i=1}^na_i^2$$

.

А вот и нет! Знак равенства в доказательстве все запутывает. Там должен быть второй знак неравенства.

[mkot]

Можно ещё воспользоваться тем, что дискриминант квадратного трехчлена
$\sum(a_i + t)^2$
относительно $t$
неположителен,
т. к. $\sum(a_i + t)^2 \geqslant 0$.

[ewert]

Brukvalub в сообщении #158581 писал(а):

А вот и нет! Знак равенства в доказательстве все запутывает. Там должен быть второй знак неравенства.

Не должен.

Ну или коли не в жилу -- более идейный вариант. Определим скалярное произведение как усреднение произведений компенент двух строк. Тогда это неравенство -- попросту неравенство Коши-Буняковского для строк $(a_1,a_2,\dots,a_n)$ и $(1,1,\dots,1)$.

[Brukvalub]

Да, тут я проврался - не заметил, что внутри двойные суммы.

[Asya]

Spasibo rebyata - za bystruu reakziu.

[ewert]

Brukvalub в сообщении #158591 писал(а):

не заметил, что внутри двойные суммы

Кстати, совершенно напрасно не заметили: бросается ведь в глаза, что неравенство -- точное, и потому никакие огрубления при доказательстве не уместны.

Ну и уж для полноты картины -- четвёртый вариант доказательства. Кроме неравенства Коши-Буняковского есть ведь ещё и неравенство Гёльдера. Из которого

$$\left({1\over n}\sum_{i=1}^n|a_i|^r\right)^{1/r}\leqslant\left({1\over n}\sum_{i=1}^n|a_i|^p\right)^{1/p}, \qquad 1\leqslant r\leqslant p\leqslant+\infty$$

.

Как частный случай ($r=1$, $p=2$) получаем исходное неравенство...

[Mikhail Sokolov]

Тогда уж уместно вспомнить и неравенство Йенсена.

[maxal]

Asya в сообщении #158571 писал(а):

доказать неравенство

\sqrt\frac{\sum\limits^N_{k=1} a_k^2}{N}>=\frac{\sum\limits^N_{k=1} a_k}{N}

Это частный случай неравенства о средних. Кстати, левая часть здесь - это среднее квадратичное, а правая - среднее арифметическое чисел $a_1, a_2, \dots, a_N$.

[ewert]

Бойан.