2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Коэффициент корреляции между X и X^2 для распр. X=N(1,1)
Сообщение15.11.2008, 13:40 


16/08/07
65
Случайная величина $X$распределена по закону $N(1,1)$. Вычислить коэффициент корреляции между $X$ и $X^2$ .

$M[X^3]=M[X]M[X^2]+K_{X,Y}$ свойство числовых характеристик случайного вектора

$M[X]=\int^{\infty}_{-\infty}x \frac {1} {\sqrt{ 2\pi}} e^{-\frac {(x-1)^2} {2}}dx$
$M[X^2]=\int^{\infty}_{-\infty}x^2 \frac {1} {\sqrt{ 2\pi}} e^{-\frac {(x-1)^2} {2}}dx$
$M[X^3]=\int^{\infty}_{-\infty}x^3 \frac {1} {\sqrt{ 2\pi}} e^{-\frac {(x-1)^2} {2}}dx$

У меня не получается вычислить интегралы, поэтому я хотел бы узнать ,правильно ли я начал решать данную задачу . Если данные интегралы берутся, подскажите пожалуйста ,как это сделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коэффициент корреляции
Сообщение15.11.2008, 13:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
mvb13 писал(а):
$M[X^3]=M[X]M[X^2]+K_{X,Y}$ свойство числовых характеристик случайного вектора

ну только не забывайте, что здесь "Ка" -- это пока ещё не корреляция, а всего лишь ковариация.

По поводу подсчёта моментов. Сделайте замену переменных $x-1=y$ и раскройте скобки в многочленах (чтобы использовать симметрию плотности). Теперь нечётные моменты заведомо нулевые, а чётные технически проще всего находить так. Заменяем в показателе одну вторую на $t$, дифференцируем полученный интеграл Пуассона (а он известен) подходящщее к-во раз по $t$ и вновь подставляем $t=1/2$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.11.2008, 15:13 


16/08/07
65
Первый интеграл равен 1:
$M[X]=\int^{\infty}_{-\infty}(t+1) \frac {1} {\sqrt{ 2\pi}} e^{-\frac {t^2} {2}}dt=1$
Затем из $M[X^3]$ вычитаю $M[X^2]$:
$K_{X,X^2}=\int^{\infty}_{-\infty}t^2 \frac {1} {\sqrt{ 2\pi}} e^{-\frac {t^2} {2}}dt$

Непонятно насчет замены 1/2 на t.
Почему можно выполнить такую замену?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.11.2008, 15:37 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
$M[X]=1$ по условию задачи. $M[X^2]$ -- это, между прочим, $D[X]+m_X^2=2$. А вот $M[X^3]$ Вы вроде пока ещё и не посчитали, так что последняя формула совершенно непонятна. И не забудьте: чтобы добраться до именно корреляции, Вам понадобится ещё и $M[X^4]$.

Насчёт замены 1/2: в Ваших обозначениях её надо заменять, естественно, не на $t$, а на что-нибудь другое. Ну например:

$${1\over\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}t^4\,e^{-\alpha t^2}dt=\left({1\over\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha t^2}dt\right)_{\alpha\alpha}^{\prime\prime}$$,

после чего подставляем $t=1/2$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.11.2008, 18:23 


16/08/07
65
Цитата:
А вот $$M[X^3]$$ Вы вроде пока ещё и не посчитали, так что последняя формула совершенно непонятна.


$$M[X^2]=\frac {1} {\sqrt{ 2\pi}}\left(\int^{\infty}_{-\infty}t^2  e^{-\frac {t^2} {2}}dt+2\int^{\infty}_{-\infty}t  e^{-\frac {t^2} {2}}dt+\int^{\infty}_{-\infty} e^{-\frac {t^2} {2}}dt\right)=\frac {1} {\sqrt{ 2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}t^2  e^{-\frac {t^2} {2}}dt+1$$

$$M[X^3]=\frac {1} {\sqrt{ 2\pi}}\left(\int^{\infty}_{-\infty}t^3  e^{-\frac {t^2} {2}}dt+3\int^{\infty}_{-\infty}t^2  e^{-\frac {t^2} {2}}dt+3\int^{\infty}_{-\infty}t e^{-\frac {t^2} {2}}dt+\int^{\infty}_{-\infty}e^{-\frac {t^2} {2}}dt\right)=\frac {3} {\sqrt{ 2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}t^2  e^{-\frac {t^2} {2}}dt+1$$

Далее нахожу $$K_{X,X^2}$$:
$$\frac {2} {\sqrt{ 2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}t^2  e^{-\frac {t^2} {2}}dt=\frac {2} {\sqrt{ 2\pi}}\left(-\int^{\infty}_{-\infty}  e^{- \alpha t^2} dt\right)_\alpha^\prime=\frac {2} {\sqrt{ 2\pi}}* \sqrt{\pi}*\frac 1 2 *\alpha^{-\frac 3 2}=$$(после обратной подстановки )$$=2$$

В результате $$K_{X,X^2}=2$$
Коэффициент корреляции равен $$\frac {K_{X,X^2}} {\sigma_X\sigma_{X^2}}$$
$$\sigma_X=\sqrt{D[X]}=\sqrt{\frac {1} {\sqrt{ 2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}t^2  e^{-\frac {t^2} {2}}dt}=1$$

Теперь возникли трудности с вычислением $$D[X^2]$$.
Как записать формулу момента для нее?

Исправил

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.11.2008, 18:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
mvb13 писал(а):
$$M[X^3]=\frac {1} {\sqrt{ 2\pi}}\left(\int^{\infty}_{-\infty}t^3  e^{-\frac {t^2} {2}}dt+2\int^{\infty}_{-\infty}t^2  e^{-\frac {t^2} {2}}dt+2\int^{\infty}_{-\infty}t^2 e^{-\frac {t^2} {2}}dt+\int^{\infty}_{-\infty}e^{-\frac {t^2} {2}}dt\right)=\frac {2} {\sqrt{ 2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}t^2  e^{-\frac {t^2} {2}}dt+1$$

Т-с-с. Чему равен куб суммы?
(и, кстати, квадрат суммы -- в предыдущей строчке, но там Вам повезло, т.к. интеграл от первой степени всё равно равен нулю)

mvb13 писал(а):
$$\frac {1} {\sqrt{ 2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}t^2  e^{-\frac {t^2} {2}}dt=\frac {1} {\sqrt{ 2\pi}}\left(-\int^{\infty}_{-\infty}  e^{- \alpha t^2} dt\right)_\alpha^\prime=\frac {1} {\sqrt{ 2\pi}}* \sqrt{\pi}*\frac 1 2 *\alpha^{-\frac 3 2}=$$(после обратной подстановки )$$=1$$

Это лишнее: левая часть есть дисперсия стандартного нормального распределения, потому и равна единице.

mvb13 писал(а):
Теперь возникли трудности с вычислением $$D[X^2]$$.
Как записать формулу момента для нее?

Как обычно -- как матожидание квадрата минус квадрат матожидания. Вот тут и придётся считать четвёртый момент, и как раз с помощью двукратного дифференцирования по альфе. Только уж постарайтесь не путаться с биномиальными коэффициентами.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.11.2008, 22:00 


16/08/07
65
Если больше ничего не забыл , то получается так :
$$M[X^4]=\frac {4} {\sqrt{ 2\pi}}\left(\int^{\infty}_{-\infty}t^4  e^{-\frac {t^2} {2}}dt+\int^{\infty}_{-\infty}t^2  e^{-\frac {t^2} {2}}dt\right)=\frac {4} {\sqrt{ 2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}t^4  e^{-\frac {t^2} {2}}dt+4=-4*\frac 1 2\sqrt{2}* (-\frac 3 2)*\alpha^{-\frac 5 2}+4=16 $$

$D[X^2]=16-4=12$
$\rho_{X,X^2}=\frac {2} {\sqrt{12}} = \frac {1} {\sqrt{3}}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.11.2008, 22:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Хм. $(1+t)^4\equiv 0+\dots+4t^2+\dots+4t^4$ ?? ...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group