Нелинейное уравнение

[volodja]

Пусть $\Omega \subset \mathbf R^N$ - ограниченная, гладкая область, и пусть $\varphi \in C^\infty(\bar\Omega)$ есть какая-н. положительная собственная функция, соответствующая первому собственному значению $\lambda_1$ оператора $-\Delta$ в $H_0^1(\Omega)$.

Рассмотрим задачу

$$ \left\{ \begin{aligned} -\Delta u &= \lambda_1 u + a(x) |u|^{p-2}u && \text{ в } \Omega, \\ u &>0 && \text{ в } \Omega, \\ u &= 0 && \text{ на } \partial\Omega, \end{aligned} \right. $$

где $2 < p < 2^* := 2N/(N-2)$, а $a \in C(\bar\Omega)$, $a \not\equiv 0$.

Доказать, что если эта задача имеет решение, то

$$ \int_\Omega a\varphi^p < 0. $$

[zoo]

volodja писал(а):

Пусть $\Omega \subset \mathbf R^N$ - ограниченная, гладкая область, и пусть $\varphi \in C^\infty(\bar\Omega)$ есть какая-н. положительная собственная функция, соответствующая первому собственному значению $-\Delta$ в $H_0^1(\Omega)$.

Рассмотрим задачу

$$ \left\{ \begin{aligned} -\Delta u &= \lambda_1 u + a(x) |u|^{p-2}u && \text{ в } \Omega, \\ u &>0 && \text{ в } \Omega, \\ u &= 0 && \text{ на } \partial\Omega, \end{aligned} \right. $$

где $2 < p < 2^* := 2N/(N-2)$, а $a \in L^\infty(\Omega)$.

Доказать, что если эта задача имеет решение, то

$$ \int_\Omega a\varphi^p < 0. $$

а $\lambda_1$ это что ?

[volodja]

Спасибо за замечание. $\lambda_1$ - это первое собственное значение оператора $-\Delta$ в $H_0^1(\Omega)$.

[Gafield]

Что насчет $a\equiv0$?

[volodja]

Да, забыл написать, что $a \not\equiv 0$.

[zoo]

Володя,извините, что обращаюсь с просьбой. Просьба по теме задачи. Не могли бы Вы, если у Вас есть возможность, отцифровать и выложить на всеобщее обозрение или прислать мне [e-mail]
статью
Alama S., Tarantello G. On semilinear elliptic equations
with indefinite nonlinearities // Calculus of Variations
and PDE. 1993. Vol.1. P.439-475.

[volodja]

Отправил. Только не знаю как можно загрузить эту работу на сайт, чтобы она была видна всем пользователям...

P.S. Доказательство довольно техничное (но не длинное, иначе я не отправлял бы сюда эту задачу) и не требует никаких знаний из дифуров, кроме знания определения первого собственного значения. Но я довести его до конца сам не сумел.

[zoo]

volodja в сообщении #158836 писал(а):

Отправил. Только не знаю как можно загрузить эту работу на сайт, чтобы она была видна всем пользователям...

Спасибо. я имел ввиду какой-нибудь рапид

volodja в сообщении #158836 писал(а):

P.S. Доказательство довольно техничное (но не длинное, иначе я не отправлял бы сюда эту задачу) и не требует никаких знаний из дифуров, кроме знания определения первого собственного значения. Но я довести его до конца сам не сумел.

Я посмотрел доказательство. У меня на воспроизведение этих вычислений наверное месяца полтора бы ушло, если б стал сам придумывать. Вообще статья вся очень интересная. Я уж испугался: думал нсачала, что в Penn Univ такие задачи аспирантам дают просто в качестве домашки к следующей паре

ps эту задачу т е необходимое условие может можно обобщить на p-Laplace, может это даже было бы интересно

[volodja]

zoo писал(а):

ps эту задачу т е необходимое условие может можно обобщить на p-Laplace, может это даже было бы интересно

Для p-лапласиана верна теорема о существовании пол-х решений, аналогичная доказанной для случая обычного лапласиана в работе Аламы и Тарантелло (с тем же требованием на первую собственную функцию $-\Delta_p$) (это должно быть в одной из работ Похожаева). Но я пока не в курсе / не разбирался с обобщением, хотя, конечно, интересно.