поле симметрий

[zoo]

Простая задача для любителей динамических систем и тензорного анализа.

На трехмерном многоообразии $M$ задана динамическая система
$\dot x=v(x)$. Известно, что она имеет инвариантную 2-форму $\omega$ ($L_v\omega=0$, $L_v$ -- производная Ли вдоль векторного поля $v$) такую, что $d\omega\ne 0$ во всех точках $M$.
Найти (нетривиальное, вообще говоря) поле симметрий данной динамической системы.

[nestoklon]

Гугл на словосочетание "поле симметрий" даёт пять ссылок.
Не могли бы вы прокомментировать этот термин? Что такое группа симметрии я чётко понимаю. А вот про поля симметрий как-то слышать не приходилось.
Заранее спасибо.

[zoo]

nestoklon писал(а):

Гугл на словосочетание "поле симметрий" даёт пять ссылок.
Не могли бы вы прокомментировать этот термин? Что такое группа симметрии я чётко понимаю. А вот про поля симметрий как-то слышать не приходилось.
Заранее спасибо.

поле симметрий это векторное поле коммутирующее с $v$. Фазовый поток такого векторного поля является группой симметрий для системы $\dot x=v(x)$

[bdfn]

zoo в сообщении #158170 писал(а):

Простая задача для любителей динамических систем и тензорного анализа.

На трехмерном многоообразии $M$ задана динамическая система
$\dot x=v(x)$. Известно, что она имеет инвариантную 2-форму $\omega$ ($L_v\omega=0$, $L_v$ -- производная Ли вдоль векторного поля $v$) такую, что $d\omega\ne 0$ во всех точках $M$.
Найти (нетривиальное, вообще говоря) поле симметрий данной динамической системы.

Можите пожалуйста привести ссылку на литературу где был бы освещен этот вопрос, а именно как работать с данной системой уравнений, как искать поля симметрий и что они дают при решении системы уравнений.

[scwec]

Приведу пример коммутирующего с $v(x)$ поля.
Определяем форму $\Omega=v\rfloor\omega$, где $\rfloor$ - внутреннее умножение на векторное поле. Тогда $L_v(\Omega)=0$, $L_v{d\Omega}=0$.
Определяем форму $\vartheta=v\rfloor{d\Omega}$. $\vartheta(v)={v\rfloor}({v\rfloor}d{\Omega})=0$. $d\vartheta=0$, поскольку $d\vartheta=d(v\rfloor{d\Omega})=L_v{d\Omega}=0$.
Таким образом, 1-форма $\vartheta$ замкнута и в любой односвязной окрестности любой точки многообразия по теореме Пуанкаре существует гладкая функция $\varphi(x)$ такая, что $d\varphi=\vartheta$. $v(\varphi)=0$, поскольку $\vartheta(v)=0$ .
Искомое поле $u=\varphi(x){v}$. $[v,u]=0$. Нетривиальность поля $u$ в том, что $\varphi(x)$ - первый интеграл поля $v$.
Задача допускает развитие. Если $\operatorname{div}(v)=0$, то $v$ полностью интегрируется. Локально, конечно.

[Oleg Zubelevich]

а если $\varphi=const$?
Другой вариант. Речь может быть об аксиальном поле симметрий. Оно получается так. Поскольку $d\omega =f(x)dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3$ по условию $f(x)\ne 0$.
Далее 2-форме $\omega$ канонически сопоставлено аксиальное псевдовекторное поле веса 1. Обозначим его $u$. Тогда инвариантное аксиальное (а может и не аксиальное, а обычное, надо чуть подумать) векторное поле получается по формуле
$w=\frac{1}{f}u$. При этом $[w,v]=0$ в стандартном смысле.
(Хотя тоже не очевидно, что $w\ne cv$)

scwec в сообщении #473660 писал(а):

Если $\operatorname{div}(v)=0$, то $v$ полностью интегрируется. Локально, конечно.

И это замечание остается в силе, с известной оговоркой.

[scwec]

Дополнительное условие $v\rfloor{d(v\rfloor\omega})\ne0$ одновременно обеспечивает $\varphi\ne\operatorname{const}$ в варианте scwec и $w\ne{cv}$ в варианте Oleg Zubelevich.
Оно же обеспечивает полную локальную интегрируемость $v$.

[Oleg Zubelevich]

кстати $w$ всетаки не аксиальное векторное поле а самое настоящее (истинный тензор)

[scwec]

Фактически $w=\frac {\operatorname{rot}\Omega}{f}$

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #473660 писал(а):

Задача допускает развитие. Если $\operatorname{div}(v)=0$, то $v$ полностью интегрируется

Что-то я перестал понимать зачем нужно это условие. Инвариантная 3-форма есть, первый интеграл Вы нашли. Этого достаточно для интегрируемости в квадратурах.

[scwec]

Оно действительно лишнее. Просто я вначале исходил из равенства $[v,\operatorname{rot}\Omega]=-\operatorname{div}v\operatorname{rot}\Omega$, не обратив внимание на условие $d\omega\ne0$. Потом заметил, и вот $[v,\frac {\operatorname{rot}\Omega}{f}]=0$, поскольку $\operatorname{div}(fv)=0$.
Плюс к тому $v\times\operatorname{rot}\Omega=\operatorname{grad}\varphi$. Отсюда и следует интегрируемость $v$ на поверхности уровня уже найденного первого интеграла $\varphi$. Пишу все в эвклидовых координатах.