Фактор-группы для нематематиков

[osi1337]

Здравствуйте. Для начала скажу что довольно далек от математики, но вот читая статью "Математика и физика" (http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/dd64e4aad2fe5a8710158475483b5735.djvu) на стр. 28 говорится о группе размерностей ньютоновой механики порожденную размерностями длины $L$, массы $M$ и времени $T$ - $M^aL^bT^c$. Далее там говорится о фактор-группе этой группы размерностей по подгруппе, порожденной всеми степенями $M^{-1}L^3T^2$. Мне захотелось разобраться во всем этом и я полез в книжки, чтобы узнать что же такое группа и фактор-группа. Но так ничего и не понял (видимо сказывается моя далекость от математики).

Что такое группа я вроде понял, понял почему все степени $M^{-1}L^3T^2$ образуют подгруппу, но так и не понял как построить эту фактор-группу. Из чего она будет состоят? И если возможно, объясните (кто читал статью) смысл этого абзаца из статьи про построение уменьшеной группы размерностей.
Заранее спасибо и извините за невнятное изложение.

[bot]

А Вы не могли бы прямо здесь процитировать основные определения относящиеся к группе размерностей? Я вот было сунулся по ссылке - там хотят, чтобы я чегой-то там установил, тут я и на попятный, шляясь где попало легко подхватить чего-нибудь нехорошего, обжигался уж.

По скудной информации рискну предположить, что эта группа абелева, то есть любые два элемента перестановочны, иначе почему бы это вдруг появилось понятие фактора по подгруппе (а не по нормальной подгруппе), да и запись элементов группы в виде $M^aL^bT^c$ на эту же мысль наводит, хотя и не обязательно - могут быть такие определяющие соотношения между образующими, при которых такая запись возможна.

[osi1337]

Хм... точного определения группы размерностей в статье как бы и нет. Попробую объяснить о чем там речь. В ньютоновой механике размерности величин могут быть выражены в виде $M^aL^bT^c$, где $M$ - размерность массы (кг), $L$ - размерность длины (м), $T$ - размерность времени (с). Т.е. ,например, размерность силы (кг*м/$c^2$) будет $MLT^{-2}$, размерность энергии (сила*длина) будет $ML^2T^{-2}$ и т.д. И все размерности, на сколько, я понимаю и образуют группы относительно умножения (т.е. $M^aL^bT^c \times M^dL^eT^f = M^{a+d}L^{b+e}T^{c+f}$), единица группы тут (как я понял опять же) - $M^0L^0T^0$ , обраный элемент к $M^aL^bT^c$ будет $M^{-a}L^{-b}T^{-c}$.

Посмотрел определение абелевой группы - действительно получается что эта группа размерностей абелева.

В статье говориться, что можно использовать размерность гравитационной постоянной G (с размерностью $M^{-1}L^3T^2}$ для уменьшения исходной группы размерностей. И сказано, что эта уменьшенная группа размерностей является математически фактор-группой исходной группы по подгруппе порожденной всеми степенями $M^{-1}L^3T^2}$ , и в качестве основных единиц измерения в новой группе можно взять любую пару (ML), (MT), или (LT), а оставшуюся размерность выразить через эту пару и размерность G. Т.о. число основных единиц должно уменьшится до двух.

Вот что касается фактор-группы я и не понял.

[вздымщик Цыпа]

Фактор-группа по нормальной подгруппе $H$— это множество классов эквивалентности по отношению $a \equiv b \Leftrightarrow ab^{-1} \in H$ В абелевой группе, которой является рассматриваемая, все подгруппы нормальные, потому на этом можно не заостряться. На множестве этих классов эквивалентности определяется групповая операция, по которой произведением двух классов является класс, представителем которого является произведение произвольных представителей сомножителей. Вы можете легко проверить, что такое определение корректно и результат операции не зависит от выбора представителей.

Простой пример: Фактор-группой целых чисел со сложением по подгруппе четных будет двухлементное множество классов четных и нечетных чисел. Сумма четных всегда четна, сумма нечетных тоже четна, а сумма четного и нечетного всегда нечетна. У Вас пример чуть сложнее, но не сильно.

[bot]

Ну вот абелева, причём образующие без кручения, то есть все степени (с положительными и отрицательными показателями) каждой из образующих различны. Эту группу можно предствлять себе как сборище триплетов $(a,b,c)$, с произвольными целыми $a,b,c$ с естественной операцией $(a,b,c)+(a',b',c')= (a+a',b+b',c+c') $. Фактор-группа этой группы по подгруппе $ H $ , порождённой элементом $ ( -1, 3, -2 ) $ (это и есть размерность гравитационной постоянной, поправьте себя или меня: $\frac{m^3}{kg \cdot sec} $ ) устроена очень просто:
Считаем два триплета $(a,b,c)$ и $(a',b',c')$ равными, если $\frac{a-a'}{-1}=\frac{b-b'}{3}=\frac{b-b'}{3}=\frac{c-c'}{-2}$. Отсюда и связь между ними: для нахождения элемента фактор-группы, то есть класса эквивалентности (о котором пока я пишу уже успел написать вздымщик Цыпа) достаточно знать любые две компоненты триплета. Ну а если в самой группе, то для идентификации элемента требуется знать класс, куда он попал при факторизации, и любой представитель класса, например, размерность гравитационной постоянной.
Вот о том и спич на той 28. стр.
ЗЫ. Надеюсь Вас не запутает, что я перешёл от мультипликативной записи к аддитивной, что принято в абелевом случае. Просто вместо $M^aL^bT^c$ в этом случае пишут триплет $(a,b,c)$.

[zoo]

шепотом: $\{M^aL^bT^c\}$ это не просто абелева группа , это трехмерное линейное простраство

[bot]

Ну, можно сказать, что это модуль над кольцом $\mathbb Z$, но не пространство - поля скаляров ведь нету.

[zoo]

bot писал(а):

Ну, можно сказать, что это модуль над кольцом $\mathbb Z$, но не пространство - поля скаляров ведь нету.

еще как есть -- $\mathbb{Q}$

[bot]

Что-то не припомню размерностей типа $\sqrt {sec}$, но это уже формальные придирки - расширить группу, чтобы её можно было рассматривать как линейное пространство размерности 3 над полем $\mathbb Q$ или его расширением естественно можно.

[zoo]

bot писал(а):

Что-то не припомню размерностей типа $\sqrt sec$,

думаю, что если подумать как следует, то размерности с дробными степенями сыщутся

bot писал(а):

но это уже формальные придирки - расширить группу, чтобы её можно было рассматривать как линейное пространство размерности 3 над полем $\mathbb Q$ или его расширением естественно можно.

нет это не формальные придирки, при решении задач теори размерностей удобно знать что
относительно операций $\alpha M^aL^bT^c:=(M^aL^bT^c)^\alpha$ и
$M^aL^bT^c+M^{a'}L^{b'}T^{c'}:=M^aL^bT^c\cdot M^{a'}L^{b'}T^{c'}$ получается линейное пространсто векторов $(a,b,c)$ над $\mathbb{Q}$. После этого замечания задачи теори размерностей формулируются в терминах систем линейных уравнений.

[osi1337]

Спасибо за объяснения, но я все еще не понимаю до конца. Bot, вы писали что два триплета $(a,b,c)$ и $(a',b',c')$ равны, если $\frac{a-a'}{-1}=\frac{b-b'}{3}=\frac{b-b'}{3}=\frac{c-c'}{-2}$. Правильно ли я понял что это выражение получилось из формулы $a \equiv b \Leftrightarrow ab^{-1} \in H$, т.е. два триплета $(a,b,c)$ и $(a',b',c')$ лежат в одном классе эквивалентности, если $(a,b,c)+(-a',-b',-c')=(a-a', b-b', c-c')=(-1n, 3n, -2n)$, и отсюда и получаем ваше выражение, правильно ли рассуждаю?

Далее я не совсем понимаю фразу "Ну а если в самой группе, то для идентификации элемента требуется знать класс, куда он попал при факторизации, и любой представитель класса", не могли бы вы привести какой-либо пример для пояснения.