Упростить выражение.

[Inspektor]

\sum_{k=1}^n{k^2C_n^k}. У меня в итоге распадается на n2^{n-1}+\sum_{k=0}^n{C_n^{k-1}}. Но скорее всего я что-то не так делал, т.к. ответ должен получиться n(n+1)2^{n-2}.

[Taras]

Примените бином Ньютона и производную.

[Inspektor]

Taras писал(а):

Примените бином Ньютона и производную.

Каким образом? Если бы было \sum_{k=1}^n{kC_n^k} тогда ясно (1+t)^n надо дифференцировать, но у меня k^2.

[Taras]

А умножить еще раз на t и взять производуню слабо?

[GAA]

А если производные не знаем, то можно как в школе делали.

(A)

$$\sum_{k=1}^n k C_n^k = \sum_{k=1}^n k \frac {n!}{k!(n-k)!} = n \sum_{k=1}^n \frac {(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!} =$$

$$n \sum_{k=1}^{n} C_{n-1}^{k-1}= n \sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^k= n 2^{n-1}$$

.

(B)

$$\sum_{k=1}^n k^2 C_n^k = \sum_{k=1}^n k(k-1) C_n^k + \sum_{k=1}^n k C_n^k$$

.
Для вычисления суммы $\sum_{k=1}^n k(k-1) C_n^k$ действуем как в (A), а вторую сумму вычислять уже умеем.

[Inspektor]

Taras писал(а):

А умножить еще раз на t и взять производуню слабо?

Точно, спасибо огромное.

Цитата:

действуем как в (A)

я изначально именно так и решал, но не получилось:

$$\sum_{k=1}^n{k(k-1)C_n^k}=\sum_{k=1}^n{\frac{n!}{(k-2)!(n-k)!}}=\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{n!}{(k-1)!(n-k-1)!}}$$

.
k-1 мешает мешает.

[GAA]

Inspektor писал(а):

я изначально именно так и решал, но не получилось:

$$\sum_{k=1}^n{k(k-1)C_n^k}=\sum_{k=1}^n{\frac{n!}{(k-2)!(n-k)!}}=\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{n!}{(k-1)!(n-k-1)!}}$$

. k-1 мешает мешает.

$$\sum_{k=1}^n{k(k-1)C_n^k}=n(n-1)\sum_{k=2}^n{\frac{(n-2)!}{(k-2)!((n-2)-(k-2))!}}=$$

$$n(n-1)\sum_{k=0}^{n-2}{\frac{(n-2)!}{k!((n-2)-k)!}} = n(n-1)\sum_{k=0}^{n-2}C_{n-2}^k=n(n-1)2^{n-2}$$

Добавлено спустя 4 минуты 2 секунды:

Если не получилось, значит — более простой пример (A) не поняли!

[Inspektor]

мда, об увеличении "к" я и не думал, спасибо огромное.
=====================================
точнее не заметил, что первый член суммы нулевой получается.