Аналитическая геометрия

[Igor999]

Помогите с решением - Даны координаты вершин пирамиды в пространстве A(2;1;-5), B(3;5;0), C(-3;8;2),
D(1;1;-3)
.
Найти а) объём пирамиды ABCD,
б) длину высоты DH.

[Brukvalub]

а) объём пирамиды равен шестой части модуля смешанного произведения векторов, проведенных из одной ее вершины во все другие.
б) длина высоты равна утроенному объему, поделенному на площадь основания.

[Igor999]

А если записать так:

$\begin{gathered} \vec A\vec B = \left\{ {3 - 2;5 - 1;0 - ( - 5)} \right\} = \left\{ {1;4;5} \right\} \hfill \\ \vec A\vec C = \left\{ { - 3 - 2;8 - 1;2 - ( - 5)} \right\} = \left\{ { - 5;7;7} \right\} \hfill \\ \vec A\vec D = \left\{ {1 - 2;1 - 1; - 3 - ( - 5)} \right\} = \left\{ { - 1;0;2} \right\} \hfill \\ V = 1/6\left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & 4 & 5 \\ { - 5} & 7 & 7 \\ { - 1} & 0 & 2 \\ \end{array} } \right| = 14 + 12 + 35 = 61 = 1/6*61 = 10,167 \hfill \\ \vec A\vec B \times \vec A\vec C = \left| {\begin{array}{*{20}c} i & j & k \\ 1 & 4 & 5 \\ { - 5} & 7 & 7 \\ \end{array} } \right| = - 7i + 32j + 20k \hfill \\ |\vec A\vec B \times \vec A\vec C| = \sqrt {( - 7)^2 + 32^2 + 20^2 } = \sqrt {1473} \hfill \\ S = \sqrt {1473} /2 \hfill \\ h = 3V/S = \frac{{3*10,167*2}} {{\sqrt {1473} }} = \frac{{61,002}} {{\sqrt {1473} }} = 1,589 \hfill \\ \end{gathered} $

[Brukvalub]

Счет не проверял, но схемы вычисления - верные.

[mkot]

Brukvalub писал(а):

Счет не проверял, но схемы вычисления - верные.

А я проверил. Ошибки есть:

Цитата:

$\begin{gathered}V = 1/6\left| {\begin{array}{*{20}c} 1& 4 & 5 \\ { - 5} & 7 & 7 \\ { - 1} & 0 & 2 \\\end{array} } \right| = 14 + 12 + 35 = 61 = 1/6*61 = 10,167 \end{gathered} $

Пропущена $\frac16$ в промежуточных вычислениях.

Цитата:

$\begin{gathered} \vec A\vec B \times \vec A\vec C = \left| {\begin{array}{*{20}c} i & j & k \\ 1 & 4 & 5 \\ { - 5} & 7 & 7 \\ \end{array} } \right| = - 7i + 32j + 20k \end{gathered} $

Подсчитано неверно. Следовательно всё остальное тоже.

Стрелку над вектором следует набирать так:

$\overrightarrow{AB}$

Иначе ужасно выглядит.

[Igor999]

Пересчитал, вроде так:

$\begin{gathered} \vec A\vec B = \left\{ {3 - 2;5 - 1;0 - ( - 5)} \right\} = \left\{ {1;4;5} \right\} \hfill \\ \vec A\vec C = \left\{ { - 3 - 2;8 - 1;2 - ( - 5)} \right\} = \left\{ { - 5;7;7} \right\} \hfill \\ \vec A\vec D = \left\{ {1 - 2;1 - 1; - 3 - ( - 5)} \right\} = \left\{ { - 1;0;2} \right\} \hfill \\ V = 1/6\left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & 4 & 5 \\ { - 5} & 7 & 7 \\ { - 1} & 0 & 2 \\ \end{array} } \right| = 14 + 12 + 35 = 61 = 1/6*61 = 10,167 \hfill \\ \vec A\vec B \times \vec A\vec C = \left| {\begin{array}{*{20}c} i & j & k \\ 1 & 4 & 5 \\ { - 5} & 7 & 7 \\ \end{array} } \right| = - 7i - 32j + 27k \hfill \\ |\vec A\vec B \times \vec A\vec C| = \sqrt {( - 7)^2 + ( - 32)^2 + 27^2 } = 42,45 \hfill \\ S = 42,45/2 \hfill \\ h = 3V/S = \frac{{3*10,167*2}} {{42,45}} = \frac{{61,002}} {{42,45}} = 1,437 \hfill \\ \end{gathered} $

Добавлено спустя 1 час 23 минуты 3 секунды:

А так правильно?

$\begin{gathered} \vec A\vec B = \left\{ {3 - 2;5 - 1;0 - ( - 5)} \right\} = \left\{ {1;4;5} \right\} \hfill \\ \vec A\vec C = \left\{ { - 3 - 2;8 - 1;2 - ( - 5)} \right\} = \left\{ { - 5;7;7} \right\} \hfill \\ \vec A\vec D = \left\{ {1 - 2;1 - 1; - 3 - ( - 5)} \right\} = \left\{ { - 1;0;2} \right\} \hfill \\ V = 1/6\left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & 4 & 5 \\ { - 5} & 7 & 7 \\ { - 1} & 0 & 2 \\ \end{array} } \right| = 1/6*(14 + 12 + 35) = 1/6*61 = 10,167 \hfill \\ \vec A\vec B \times \vec A\vec C = \left| {\begin{array}{*{20}c} i & j & k \\ 1 & 4 & 5 \\ { - 5} & 7 & 7 \\ \end{array} } \right| = - 7i - 32j + 27k \hfill \\ |\vec A\vec B \times \vec A\vec C| = \sqrt {( - 7)^2 + ( - 32)^2 + 27^2 } = 42,45 \hfill \\ S = 42,45/2 \hfill \\ h = 3V/S = \frac{{3*10,167*2}} {{42,45}} = \frac{{61,002}} {{42,45}} = 1,437 \hfill \\ \end{gathered} $

[Igor999]

Проверьте кто-нибудь, очень надо

[Igor999]

Особенно важна часть вычислений касающаяся длины высоты.

[Igor999]

Поправьте меня пожалуйста, если я где-то ошибся.

[Igor999]

Проверьте плиз последнее решение, кому не сложно.

[Brukvalub]

ВСЕ ВЕРНО!