Гистограмма

[geomath]

Рассмотрим метрическое пространство (X, d) - ограниченного диаметра, если хотите. Метрика d принимает какие-то (неотрицательные) значения: одни значения она принимает чаще, другие - реже, говоря условно. Спрашивается, что можно сказать о распределении этих значений в общем случае? Если X конечно, это распределение - гистограмма - легко строится в явном виде. Например, “тривиальная” метрика d принимает всего два значения: 0 с частотой 1/n и 1 с частотой 1 - 1/n, где n - число элементов (мощность) множества X. Так, хорошо. А в бесконечном случае как построить гистограмму? Я не знаю, может, на метрическом пространстве должна существовать некая "естественная" мера?

[Henrylee]

То есть задача. как я понимаю такая. Каким-то образом выбираются 2 случайные точки в метрическом (линейном, бесконечномерном) пространстве. И хочется наяти распределение метрики. А вопрос про естественную меру - это как раз о способе эти точки случайно выбрать? Ну, видимо, придется эту меру сначала задать (придумать).

[geomath]

Нет, задача вот какая. Метрика - это функция, заданная на квадрате (на произведении двух одинаковых метрических пространств) и принимающая действительные значения. Думаю, что наверняка она борелевская (в смысле борелевских сигма-алгебр на действительной прямой и на квадрате), т.е. это случайная величина. Спрашивается, что можно сказать об этой с.в. интересного? Ведь это же не просто произвольная с.в., а суть метрика!

[Henrylee]

geomath писал(а):

Нет, задача вот какая. Метрика - это функция, заданная на квадрате (на произведении двух одинаковых метрических пространств) и принимающая действительные значения. Думаю, что наверняка она борелевская (в смысле борелевских сигма-алгебр на прямой и на квадрате), т.е. это случайная величина. Спрашивается, что можно сказать об этой с.в. интересного?

А я что, сказал что-то другое?

geomath писал(а):

Ведь это же не просто произвольная с.в., а суть метрика!

Да ну и что с того? Чтобы сказать что-то о распределении, нужно иметь вероятностное пространство, т.е. с мерой. А где мера-то? Каую взять? О том и речь.

[geomath]

Ну да, первоначально на множестве Х не было и сигма-алгебры, но она тут же появилась, как только на Х появилась метрика. Так, может, и мера появится примерно так же? В том-то и вопрос!

[Brukvalub]

geomath в сообщении #157407 писал(а):

Ну да, первоначально на множестве Х не было и сигма-алгебры, но она тут же появилась, как только на Х появилась метрика

Укажите эту сигма-алгебру.

[zoo]

Brukvalub писал(а):

geomath в сообщении #157407 писал(а):

Ну да, первоначально на множестве Х не было и сигма-алгебры, но она тут же появилась, как только на Х появилась метрика

Укажите эту сигма-алгебру.

минимальная сигма-алгебра содержащая все открытые множества

[Henrylee]

А с мерой такой фокус не пройдет.

[geomath]

Насчет гистограммы идея у меня есть: покрыть Х конечной эпсилон-сетью, построить для нее гистограмму значений d, а затем устремить эпсилон к нулю, надеясь, что существует некий предел этих гистограмм. Он и будет искомой гистограммой. Спрашивается, можно ли из этой гистограммы извлечь меру?

[zoo]

Henrylee писал(а):

А с мерой такой фокус не пройдет.

какой фокус?

[Henrylee]

zoo писал(а):

Henrylee писал(а):

А с мерой такой фокус не пройдет.

какой фокус?

Ее естественное появление при наличии метрики.