Замена переменной в ДУ

[Future engineer-builder]

Подскажите, пожалуйста, как правильно делать замену переменной в ДУ?

Например, дано ДУ: $y''-(y')^2+(y')^4=0$

Первая замена $y'=p$, $y''=pp'$, где $p=p(y)$ - правильна ли запись?
$pp'-p^2+p^4=0$

Вторая замена $u=p^2$, $u^2=p^4$, где $u=u(y)$ - правильна ли запись?
$\frac {\sqrt udu}{2\sqrt udy}}-u+u^2=0$

Делим на $u^2$
$\frac {du}{2u^2dy}}-\frac {1}{u}}+1=0$

Делаем очередную замену
$v=1/u$, $v^2=1/u^2$, где $v=v(y)$ - правильна ли запись?
$\frac {-dv}{2dy}}-v+1=0$
$2(1-v)=\frac {dv}{dy}}$
$\frac {dv}{1-v}}=2dy$

Ну и дальше выражаем $v$ и делаем обратную подстановку

[GAA]

Уравнение не содержит искомой функции. Делать замену $y’(x)=z(x)$.

Добавлено спустя 1 минуту 52 секунды:

$y’'(x)=z'(x)$.

[Future engineer-builder]

Первая замена
$y'(x)=p(x)$, $y''(x)=p(x)p'(x)$
$pp'-p^2+p^4=0$

Вторая замена
$u(x)=p^2(x)$, $u^2(x)=p^4(x)$
$\frac {\sqrt udu}{2\sqrt udy}}-u+u^2=0$

Делим на $u^2$
$\frac {du}{2u^2dy}}-\frac {1}{u}}+1=0$

Делаем очередную замену
$v(x)=1/u(x)$, $v^2(x)=1/u^2(x)$
$\frac {-dv}{2dy}}-v+1=0$
$2(1-v)=\frac {dv}{dy}}$
$\frac {dv}{1-v}}=2dy$

[GAA]

Future engineer-builder писал(а):

Первая замена
$y'(x)=p(x)$, $y''(x)=p(x)p'(x)$
$pp'-p^2+p^4=0$

Указанная в прервом Вашем сообщении замена правильная. Замена, которую указал я, в данном случае немного рациональней. Но выполняете её вы неправильно.
$y'(x)=p(x)$, $y''(x)=p'(x)$

[Future engineer-builder]

Скажите, а чем неправильное первое решение - оно мне больше понятнее, даже если оно нерациональное, но имеет место быть?

[GAA]

При разделении переменных мы должны отдельно рассмотреть случаи $u=0$, $u=1$ и $\frac{du}{u-u^2}=dy$. Для интегрирования последнего уравнения, выражение в левой части раскладываем на простейшие дроби: $\frac{du}{u} + \frac{du}{1-u}=dy$.

[Future engineer-builder]

Я не понял, откуда Вы взяли это последнее выражение

[GAA]

Что в первом сообщении формально неправильно. По ходу решения Вы теряете $u=0$, а затем $v=1$. В остальном — все верно, хотя и не рационально. Простые задачи надо решать не просто правильно, но и рационально — иначе не сможете решить более сложные.

Future engineer-builder писал(а):

Я не понял, откуда Вы взяли это последнее выражение

Какое последнее?

[Future engineer-builder]

Цитата:

Какое последнее?

$\frac {du}{u-u^2}}=dy$

Добавлено спустя 11 минут 7 секунд:

Начнем последовательно

Первая замена
$y'(x)=p(x)$, $y''(x)=p'(x)$, получаем
$p'-p^2+p^4=0$

Далее что?

[GAA]

Future engineer-builder писал(а):

Цитата:

Какое последнее?

$\frac {du}{u-u^2}}=dy$

Я потерял 1/2.

в первом сообщении темы Future engineer-builder писал(а):

Вторая замена $u=p^2$, $u^2=p^4$, где $u=u(y)$
$\frac {\sqrt udu}{2\sqrt udy}}-u+u^2=0$

Перенося $-u+u^2=0$ в правую часть, получаем $\frac {du}{2dy}}=u-u^2$.
Синим помечен добавленный текст

[Future engineer-builder]

Дальше решается ДУ, находится интеграл от двух частей ДУ. А можно сделать замену $u=vm$.

[GAA]

Что есть u=vm?

[Future engineer-builder]

Цитата:

Что есть $u=vm$?

Метод Бернули

[GAA]

Future engineer-builder писал(а):

Метод Бернули

Рассматриваемое уравнение можно считать частным случаем уравнения Бернулли. Заменой переменного $u=1/v$, Вы свели уравнение Бернулли к линейному, но могли искать решение и методом Бернулли. Однако, в данном случае, это не рационально.

[Future engineer-builder]

Хорошо, двигаемся дальше...

$\int \frac {du}{u-u^2}=2y$

Так?