проекция точки на множество

[Ninok]

Помогите пожалуйста справиться с этим заданием, или подскажите в каком направлении копать, уже с ног сбилась...
Это задание по предмету методы оптимизации

[gris]

Ну если вам хочется именно покопаться, то начните с того, что если z точка, не принадлежащая U, а p - ее проекция на U. то
1) p принадлежит U
2) вектор p - z параллелен вектору a, т.е координаты пропорциональны.
Имеем линейную систему из n+1 уравнений для n+1 неизвестных

Выразить p, подставить в уравнение для U... За пять минут получите решение.

[Narn]

Проще найти проекцию вектора $z$ на нормальный к гиперплоскости вектор и вычесть ее (проекцию) из $z$.

[Brukvalub]

Narn в сообщении #156439 писал(а):

Проще найти проекцию вектора z на вектор нормали к гиперплоскости a и вычесть ее из z. И никаких систем решать не придется.

Получается, что проекция точки на гиперплоскость не зависит от параллельных переносов этой гиперплоскости? Странно....

[gris]

Это проще, чем кажется. Систему не надо решать,там матрица диагональная. (кроме одной строки)

[Narn]

Brukvalub писал(а):

Narn в сообщении #156439 писал(а):

Проще найти проекцию вектора z на вектор нормали к гиперплоскости a и вычесть ее из z. И никаких систем решать не придется.

Получается, что проекция точки на гиперплоскость не зависит от параллельных переносов этой гиперплоскости? Странно....

Зависит Не заметил, что гиперплоскость не через 0 проходит.

[ewert]

Фактически идея gris'а состоит в том, чтобы написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости: $\vec x=\vec z+\vec a t$ и подставить это в уравнение самой плоскости (т.е. найти проекцию как пересечение плоскости и прямой). Моментально получается уравнение для только параметра $t$. От широты души можно даже коротенькую общую векторную формулу для ответа выписать, которую, впрочем, можно найти и в любом справочнике, но проще -- вывести заново.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #156590 писал(а):

От широты души можно даже коротенькую общую векторную формулу для ответа выписать, которую, впрочем, можно найти и в любом справочнике, но проще -- вывести заново.

Нехорошо обманывать детей! Я перерыл весь справочник по кролиководству, а такой формулы не нашел!

[TOTAL]

От точки $Z$ отнять вектор $\vec a$, умноженный на расстояние от $Z$ до плоскости, которое равно ...
($\vec a$ считаем единичным)

[gris]

Да! Я просто не мог это выразить словами, и проблема в том, что я $\lambda$ по привычке брал в качестве коэффициента пропорциональности, а с t конечно, проще
... Всё равно автор темы уже сам всё сделал. Тут скалярные произведения векторов.

p = z - at
(z-at)a = b
t = (аz - b) / aa

и, наконец, p = z - at

Мне нравится то, что тут выглядывает формула, которая как раз есть везде, а именно расстояние от точки до гиперплоскости.
$R = \frac {|az - b|} {\sqrt {aa} }$

Ну вот, пока писал, всё уже сказали... Однако нет, не просто отнять вектор, умноженный на расстояние!!!
Надо еще учесть и ориентацию вектора а относительно плоскости и точки!

[TOTAL]

gris писал(а):

Однако нет, не просто отнять вектор, умноженный на расстояние!!!
Надо еще учесть и ориентацию вектора а относительно плоскости и точки!

Просто отнять. Расстояние имеет знак, все уже учтено.

[gris]

Вообще-то да. Просто обычно в формулах модуль стоит.
Однако тяжкие сомнения гложут. А если гиперплоскость задана по другому? Параметрически, например, или определителем? Как там определить знак у расстояния?
И не смутит ли юных студентов отрицательность Расстояния?