Угловая скорость трехранника Френе

[ShMaxG]

Помогите пожалуйста найти угловую скорость трехгранника Френе. Ничего не могу придумать.
Точка движется по закону

\[ x = x\left( t \right),y = y\left( t \right),z = z\left( t \right) \]

.

[zoo]

ShMaxG писал(а):

Помогите пожалуйста найти угловую скорость трехгранника Френе. Ничего не могу придумать.
Точка движется по закону

\[ x = x\left( t \right),y = y\left( t \right),z = z\left( t \right) \]

.

раскладываем по реперу Френе вектор $a=a_1 v+a_2 n+a_3b$ Предположим, что координаты этого вектора постоянны. Подбираем вектор $\omega$ так, что
$\dot a=[\omega,a]$ Понадобятся формулы Френе. Точкой обозначена производная по натуральному параметру

[ShMaxG]

Кажется, получилось.

Необходимое условие

\[ \dot a = \left[ {\omega ,a} \right] \]

, это

\[ \left( {\omega ,\dot a} \right) = 0 \]

. Формулы Френе:

\[ \left\{ \begin{gathered} \frac{{d\tau }} {{ds}} = k_1 n \hfill \\ \frac{{dn}} {{ds}} = - k_1 \tau + k_2 b \hfill \\ \frac{{db}} {{ds}} = - k_2 n \hfill \\ \end{gathered} \right. \]

Раскладываем

\[ \omega = b_1 n + b_2 \tau + b_3 b \]

, из того, что необходимое условие должно выполняться при любых

\[ a_1 ,a_2 ,a_3 \]

, следует

\[ \omega = b_2 \tau + b_2 \frac{{k_1 }} {{k_2 }}b \]

. Подставляя это выражение в самое первое уравнение, получаем окончательную формулу:

\[ \omega = k_2 \tau + k_1 b \]

.

Спасибо!

Добавлено спустя 14 минут 24 секунды:

И кстати, ответ к этой задаче дан такой:

\[ \overrightarrow \omega = \left( {\overrightarrow v \cdot \overrightarrow \tau } \right)\left( {\overrightarrow \tau /\kappa + \overrightarrow b /\rho } \right) \]

, где

\[ \rho \]

- радиус кривизны, а

\[ \kappa \]

- радиус кручения траектории. Вопрос: откуда взялось

\[ \left( {\overrightarrow v \cdot \overrightarrow \tau } \right) \]

?

[zoo]

ShMaxG в сообщении #156143 писал(а):

\[ \omega = k_2 \tau + k_1 b \].

это верный ответ или почти верный я помню его с такой точностью:
$\omega =\pm k_2 \tau \pm k_1 b$

ShMaxG в сообщении #156143 писал(а):

Вопрос: откуда взялось \[ \left( {\overrightarrow v \cdot \overrightarrow \tau } \right) \]?

а что у Вас такое $\overrightarrow v$? В принципе, разночтения возможны из-за того, что мы с Вами используем натуральный параметр, а в задаче $t$ может и не быть натуральным