Преобразование Фурье, вычислить интеграл

[webaib1]

День добрый, что-то я совсем затупил и не могу решить следующее
$\int_{-\infty}^{+\infty}e{^{\frac{-\pi{x^2}}{\sigma^2}}e{^{-i2\pi{u}x}}dx$
Собствено разложить нужно функцию $e{^{\frac{-\pi{x^2}}{\sigma^2}}$

[Brukvalub]

Выделяем вещественную и мнимую части подынтегральной функции, интеграл от мнимой части =0, а от вещественной - см. задачник Демидовича, № 3809.

[ewert]

webaib1 писал(а):

День добрый, что-то я совсем затупил и не могу решить следующее
$\int_{-\infty}^{+\infty}e{^{\frac{-\pi{x^2}}{\sigma^2}}e{^{-i2\pi{u}x}}dx$

Выделите в показателе общей экспоненты полный квадрат. Оставшийся экспоненциальный хвостик, не зависящий от икса, вынесите за знак интеграла. Уберите комплексный сдвиг, спрятав его под дифференциал, после чего интеграл станет равен (с точностью до масштаба по иксам) интегралу Пуассона.

[citadeldimon]

ewert в сообщении #156015 писал(а):

Уберите комплексный сдвиг, спрятав его под дифференциал, после чего интеграл станет равен (с точностью до масштаба по иксам) интегралу Пуассона.

Сделав сдвиг на $t=ax+ib,a,b-$ действительные числа, Вы будете интегрировать уже по $(-\infty-ib,+\infty-ib).$ И тут надо этот шаг прокомментировать, почему полученный интеграл равен интегралу по $(-\infty,+\infty)$!!!

[ewert]

естественно, надо. Но: я говорил, как принято считать, а не как оправдываться!

[webaib1]

Спасибо, сейчас уже голова совсем не работает, что бы решать. Я честно говоря в глубоком ахе, в жизни не изучали интегрирование в комплексной плоскости, а тут оказывается, что мы это должны уметь делать - так, между прочим. Посмотрел размер не достающих знаний - там на семестр занятий оО

Есть еще один вопрос к дискретному преобразованию Фурье (в частности - обработка изображений). Не совсем понимаю, что отображает спектр Фурье, скажем для чб изображения? По середине его (т.б. для частоты 0) будет стоять некая константа для всего изображения (средний уровень сигнала для всех пикселей (средне-серое значение всего изображения)). Чем дальше от центра - тем выше частота, но почему именно такой получается спектр? Есть какая-нибудь может статья, в которой это доходчиво объясняется?

[citadeldimon]

webaib1 в сообщении #156025 писал(а):

Есть еще один вопрос к дискретному преобразованию Фурье (в частности - обработка изображений). Не совсем понимаю, что отображает спектр Фурье, скажем для чб изображения? По середине его (т.б. для частоты 0) будет стоять некая константа для всего изображения (средний уровень сигнала для всех пикселей (средне-серое значение всего изображения)). Чем дальше от центра - тем выше частота, но почему именно такой получается спектр? Есть какая-нибудь может статья, в которой это доходчиво объясняется?

А Вы не пробовали хоть поискать, например http://www.google.ru/search?hl=ru&q=%E4 ... Google&lr=
я там сразу нашел ссылки на книжки

[Brukvalub]

ewert в сообщении #156024 писал(а):

естественно, надо. Но: я говорил, как принято считать, а не как оправдываться!

А я говорил, как надо считать, чтобы потом не приходилось оправдываться

[webaib1]

citadeldimon писал(а):

А Вы не пробовали хоть поискать, например http://www.google.ru/search?hl=ru&q=%E4 ... Google&lr=
я там сразу нашел ссылки на книжки

Спасибо еще раз, кое что уже нашел, но сейчас спать. У меня 6 предметов в этом семестре. Не считая этого, еще по двум матбаза хромает (хоть и не так). Без бутылки пива уже неделю заснуть не могу, перед глазами стройными рядами ползет все что за день прочитал и что еще предстоит )

[ewert]

webaib1 в сообщении #156025 писал(а):

Я честно говоря в глубоком ахе, в жизни не изучали интегрирование в комплексной плоскости, а тут оказывается, что мы это должны уметь делать - так, между прочим.

Да, такое случается -- какой-либо сбой в рабочих программах. Собственно, по этой ветке для вас существенны лишь три вопроса.

1). Что такое вообще интеграл в комплексной плоскости. А ничего особенного -- просто обычный предел интегральных сумм. Ну ещё он сводится к криволинейному (которые у вас, наверное, были), но на практике это обычно не нужно.

2). Что такое аналитическая функция. Грубо говоря, это то, что можно разумно приблизить многочленами. С вычислительной точки зрения: достаточно знать, что все элементарные функции и их комбинации аналитичны везде, кроме отдельных точек, где они заведомо плохи. В частности, экспонента аналитична буквально везде.

3). Теорема Коши: интеграл от аналитической функции по замкнутому контуру равен нулю.
Применительно к Вашему примеру: почему интеграл не изменится, если линию интегрирования сместить с вещественной оси куда-нибудь в полуплоскость? Очень просто. Рассмотрим очень вытянутый прямоугольник с нижней стороной на вещественной оси и вертикальными стенками фиксированной длины. Если раздвигать вертикальные стенки к бесконечностям, то интегралы только по этим маленьким отрезкам будут стремиться к нулю из-за безумно быстрого убывания экспоненты на (вещественной) бесконечности. В то же время интеграл по всему прямоугольнику равен нулю. Т.е. в пределе интеграл по вещественной оси равен минус интегралу по сдвинутой прямой, а с учётом противоположности направлений интегрирования -- просто равен.

Ну там наверняка потом вас ещё выкинет на теорию вычетов, но тут уж размахиванием руками действительно не обойдёшься.

Добавлено спустя 1 минуту 16 секунд:

Brukvalub в сообщении #156027 писал(а):

А я говорил, как надо считать, чтобы потом не приходилось оправдываться

а Вам не мучительно больно за бесцельно прожитые за этими вычислениями минуты?

[Gafield]

Известно, что при преобразовании Фурье функция $e^{-x^2/2}$ не меняется. Остается сделать подходящую замену...