2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 существование параллелепипеда, вписанного в шар
Сообщение07.03.2006, 21:31 
Как доказать, что в любом шаре с центром в некоторой точке содержится параллелепипед с центром в этой же точке и наоборот (в любом параллелепипеде-шар)?

 
 
 
 
Сообщение07.03.2006, 21:39 
Аватара пользователя
речь о $\mathbb{R}^3$? Это разве не очевидно?

 
 
 
 
Сообщение07.03.2006, 23:48 
Для n-мерного пространства доказательство приведено в книге
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т.1, 1981г, параграф 18.1, стр. 293, Лемма 2.
Не поленитесь взглянуть и на упражнение 1 на стр. 295.

 
 
 
 
Сообщение08.03.2006, 14:51 
Для конечномерных нормированных пространств это следует из теоремы об эквивалентности норм.

 
 
 
 
Сообщение10.03.2006, 14:19 
cepesh писал(а):
речь о $\mathbb{R}^3$? Это разве не очевидно?

Очевидно! А вот как это по-умному записать-неочевидно!

 
 
 
 
Сообщение10.03.2006, 14:31 
Аватара пользователя
Аленушка писал(а):
Очевидно! А вот как это по-умному записать-неочевидно!


Если шар имеет радиус R, то расстояние от центра шара до любой его точки не превосходит R (это определение шара).

Если параллелепипед имеет стороны 2a, 2b и 2c (рассматриваем трехмерный случай), то минимальное расстояние от центра до любой точки на границе этого параллелепипеда равно $m = \min\{a,b,c\}$, а максимальное - $M = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$ (это расстояние до любого угла).

Теперь, если у нас есть заданный параллелепипед, то шар любого радиуса R<m, центр которого совпадает с центром параллелепипеда, будет полностью лежать внутри.

Если же нам дан шар радиуса R, то для того, чтобы вложить в него параллелепипед нужно подобрать числа a,b,c так, чтобы выполнялось M<R. Например, можно взять $a=b=c<\frac{R}{\sqrt{3}}$

 
 
 
 
Сообщение11.03.2006, 10:30 
Спасибо! :)

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group