плохо обусловленные уравнения

[ecartman]

Может кто поможет ссылками на литературу где изучается вопрос как работать с плохо обусловленными уравнениями Фредгольма 2ого рода? Имеется ввиду численное их решение, еще точнее решение систем к которым приводят уравнения Фредгольма. Проблема в том что собственное значение матрицы порождаемой интегралом очень близко к 1 делить на константу перед интергалом и в этом случае соответствующее матричное уравнение крайне плохо себя ведет. Пытался подвергнуть уравнения всяким преобразованиям чтобы перейти в другой так сказать домен где уже нет проблем с плохой обусловленностью и там решить но ничего не придумал. Если кто книжкой хотя бы поможет, буду признателен. Спасибо.

[barmale-y]

ecartman писал(а):

Может кто поможет ссылками на литературу где изучается вопрос как работать с плохо обусловленными уравнениями Фредгольма 2ого рода? Имеется ввиду численное их решение

В [И.К.Лифанов Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент] подробно рассмотрена регуляризации численного решения и.у.т.Ф. 1-го рода, которая применима к и.у.т.Ф. 2-го рода возникающих, например, при решении внешней задачи Дирихле. Смысл регуляризации состоит в выписывании дополнительного условия и добавления лишнего неизвестного.

Если причина плохой обусловленности связана с сингулярностью, то в этой же книжке ее рекомендуется сглаживать.

[ecartman]

причина плохой обусловленности связана не с сингулярностью ядра, более того ядро никакой сингулярностью не обладает. проблема в том что макс собственное значаение интегрального оператора определяемого ядром (назовем его $K$) почти единица, это значит что инвертировать оператор типа $I-K$ где $I$ - единичная матрица довольно проблематично т.к. этот оператор почти вырожден. другими словами, задача решить уравнение $y=g+Ky$ где $g$ - известная функция, $y$ - то что нужно найти и $K$ интегральный оператор. для простоты это все можно считать просто матричным уравнением. решение такого уравнения есть $y=(I-K)^{-1}g$, однако когда макс собственное значение матрицы $K$ близко к одному, то $I-K$ довольно трудно обращать.

[Полосин]

В предположении, что оператор самосопряженный (ядро регулярно и симметрично), найдите это собственное значение и отвечающую ему с.ф. (или функции, если размерность собственного подпространства больше единицы) и разложите все пространство в прямую сумму найденного подпространства и его ортогонального дополнения. На дополнении задача обращения будет гораздо лучше обусловлена (тем лучше, чем дальше следующее с.з. от найденного), а на с.п-ве задача будет конечномерна (если с.з. простое, то одномерна).