Две задачи о гравитационном взаимодействии

[Z.S.]

Задача №1

Возьмем бесконечную гравитирующую плоскость, которая в инерциальной системе отсчета К, где она покоится, создает гравитационное поле, с ускорением свободного падения в нем по модулю равным G. Проведем направляющий вектор k, перпендикулярный указанной плоскости. Поместим в гравитационном поле плоскости объект массой m, неподвижный в системе отсчета К. Допустим, что сила веса, измеренная динамометром, равна F=mG.Система координат декартова.

Вопрос: Какая сила веса будет приложена к динамометру, если объект массой m перемещать вместе с динамометром с постоянной скоростью u, измеренной в системе отсчета К, при соблюдении условия kхu=0.

Задача №2

Возьмем две параллельные бесконечные гравитирующие плоскости. Каждая из плоскостей, в инерциальной системе отсчета, где она покоится, создает гравитационное поле, с ускорением свободного падения в нем по модулю равным G. Проведем направляющий вектор k, перпендикулярный указанным плоскостям. Пусть гравитирующие плоскости перемещаются относительно инерциальной системы отсчета К, с равными по модулю, постоянными, но противоположными по направлению скоростями: v1=u, v2=-u , и соблюдается условие kхu=0. Поместим между плоскостями объект массой m, и скоростью v3=u, измеренной в системе отсчета К. Система координат декартова.

Вопрос: Какая сила (если таковая имеется) будет приложена к объекту в системе отсчета К, и в инерциальной системе отсчета К', сопутствующей объекту.


Для решения первой задачи воспользуемся формулой (я взял её из статьи Л.Б.Окуня, Масса. Энергия. Относительность., опубликованной в журнале УФН т.158, вып. 3, 1989, стр. 511-530):

$\vec{F}=-\gamma \frac{ME}{c^2r^3}[(1+\beta^2)\vec{r}-(\vec{r}\vec{\beta})\vec{\beta}] $ (1) - сила тяжести

Здесь
$\gamma $- гравитационная постоянная, $ c$- скорость света в вакууме, $\vec{r}$- радиус-вектор, $E$- полная энергия пробного тела массы m, $M$- масса источника гравитационного поля,такая,что выполняется условие m<<$M$,$\vec{\beta}$- скорость пробного тела, деленная на скорость света, измеренная относительно тела с массой $M$.

В нашем случае формулу (1) можно переписать в виде

$\vec{F}=\frac{E}{c^2}\vec{G}=\frac{m}{\sqrt{1-\beta^2}}\vec{G} $ (2)

Если $ \beta<<c$, получим

$\vec{F}=(1+\frac{\beta^2}{2}})m\vec{G} $ (3)

Предположим, что в нашем случае можно применить преобразования Лоренца. Тогда сила веса, приложенная к динамометру, равна силе тяжести, измеренной в системе отсчета связанной с телом массы $M$:

$\vec{F}_g=\vec{F}$ (4)

Наличие силы в задаче№2 будет означать возможность существования " продольного" поля,представленного симметричным тензором второго ранга, имеющего размерность угловой скорости, и действующего на движущиеся массы в направлении их скорости. Однако, такая возможность противоречит закону сохранения энергии. Поэтому ответ в задаче №2: сила приложенная к пробному телу в системе отсчета К равна нулю. Соответственно, в системе отсчета К', связанной с пробным телом никакой силы также наблюдаться не будет.
Таким образом, напряженность гравитационного поля в системе К', не зависит о скоростей гравитирующих плоскостей и определяется только их массами - инвариантными физическими величинами.

Обратившись к задаче№1, с учетом решения задачи№2, делаем следующий вывод: в системе отсчета связанной с пробным телом напряженность гравитационного поля равна напряженности гравитационного поля в системе отсчета К. Следовательно, из условия (4) найдем:

$m'\vec{G}'=\frac{m}{\sqrt{1-\beta^2}}\vec{G} $ (5)

Учитывая что $\vec{G}'=\vec{G}$ (6)

получим следующий странный результат:

$m'=\frac{m}{\sqrt{1-\beta^2}}$ (7)

Таким образом в системе К' масса пробного тела получается больше чем в системе К, и связано это с движением гравитирующей плоскости относительно пробного тела.

Исходя из сказанного (если считать приведенные выше рассуждения верными) возникает вопрос: в ОТО масса инвариант ?