дискр. множ., замыкание которого имеет мощность континуума

[Руст]

Если Q рациональные числа (что подтвердили), а U содержит Q значит вся прямая, то из того, что не более чем счётное подмножество P принадлежит U следует, что P само содержит не более счётного количества точек.
Или вы опять что то хотите запутать. Лучше сформулируйте заново ваши условия, чтобы нельзя было интерпретировать разнообразно.

[Руст]

Простите забыл, что не более счётно подмножество содержит дополнение к U, т.е. понятие вполне логичное.

[er]

Руст писал(а):

Если Q рациональные числа (что подтвердили),

я этого не подверждал

Наверно Вы перепутали: $Q$ и $\mathbb{Q}$ - это разные объекты.

Руст писал(а):

а U содержит Q значит вся прямая,

Это неверно, даже если $Q=\mathbb{Q}$.

Руст писал(а):

то из того, что не более чем счётное подмножество P принадлежит U следует, что P само содержит не более счётного количества точек.

Я писал
Для $Q,P\subset \mathbb{R}$, будем говорить, что {\it $P$ конденсируется вокруг $Q$} если для любой окрестности $U$ множества $Q$ множество $P\setminus U$ не более чем счетно.

Где тут говорится, что P не более чем счетно? И почему P принадлежит U?
P никак не может принадлежать U. P не элемент U. И P не обязательно лежит в U.

Руст писал(а):

Или вы опять что то хотите запутать.

Такого намеренья у меня не было.

Руст писал(а):

Лучше сформулируйте заново ваши условия, чтобы нельзя было интерпретировать разнообразно.

подумаю, как сформулировать, что бы Вы поняли..

[Руст]

В качестве P можно взять только хорошо приближаемые рациональными числами иррациональные числа. Т.е. иррациональное число х принадлежит P, если n -подходящая дробь $\frac {P_n}{Q_n}$ для x удовлетворяет условию $ |x-\frac {P_n}{Q_n}|<\frac {1}{Q_n^n}. Это наподобии Лиуливых чисел (какие он приводил при доказательстве существования трансцендентных чисел).

[er]

Руст писал(а):

В качестве P можно взять только хорошо приближаемые рациональными числами иррациональные числа. Т.е. иррациональное число х принадлежит P, если n -подходящая дробь $\frac {P_n}{Q_n}$ для x удовлетворяет условию $ |x-\frac {P_n}{Q_n}|<\frac {1}{Q_n^n}. Это наподобии Лиуливых чисел (какие он приводил при доказательстве существования трансцендентных чисел).

Такое множество $P$ не подходит.

Насколько понял, $P=\{x\in\mathbb{P}: \forall n \in\mathbb{N}\,\,\, \exists \frac{p}{q}\in\mathbb{Q} \text{ так что } |x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^n}\}$. Тогда для натурального n множество $P_n=\{x\in\mathbb{R}: \exists \frac{p}{q}\in\mathbb{Q} \text{ так что } |x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^n}\}$ открыто и $P=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}P_n\setminus \mathbb{Q}$, следовательно, множество $P$ типа $G_\delta$ (пересечение счетного числа открытых множеств) и плотно в $\mathbb{R}$. Такое множество содержит несчетное $F\subset P$, замкнутое в $\mathbb{R}$ подмножество. Для $U=\mathbb{R}\setminus F$ имеем $P\setminus U=F$ и $P\setminus U$ несчетно.

[Someone]

er писал(а):

Пример независимого от ZFC утверждения я привел в
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=1716

Какое утверждение Вы имели в виду? О существовании несчётного множества, конденсирующегося вокруг множества рациональных чисел? А какое дополнительное предположение требуется для построения? И где это опубликовано?

[er]

Someone писал(а):

er писал(а):

Пример независимого от ZFC утверждения я привел в
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=1716

Какое утверждение Вы имели в виду? О существовании несчётного множества, конденсирующегося вокруг множества рациональных чисел?

да

Someone писал(а):

А какое дополнительное предположение требуется для построения?

1. Существует в предположении континуум гипотезы.
2. Не существует в предположении аксиомы Мартина и отрицания континум гипотезы.

Someone писал(а):

И где это опубликовано?

То что в CH есть, написано в тниге Куратовского "Топология". Насчет аксиомы Мартина.. Там есть, кажется, ссылка. Этот факт, кажется, упоминается в "Справочной книге по мат. логике" в 4-х томах.

Вообще то, факт вполне очевидный и сейчас его и эквивалентные часто без ссылок приводят. Существование несчетного множества, концентрирующего вокруг рациональных чисел эквивалентно кардинальному равенству $\goth{b}=\omega_1$.

Здесь, $\omega_1$ - первый несчетный кардинал, $\goth{b}$ - наименьшая мощность неограниченного семейства функций из натуральных чисел в натуральные числа. Порядок рассматиривается "почти всюду": $f\le g$ если и только если существует $N$, так что $f(n) \le g(n)$ для всех $n>N$.

[Someone]

er писал(а):

1. Существует в предположении континуум гипотезы.
2. Не существует в предположении аксиомы Мартина и отрицания континум гипотезы.
...

Спасибо.

[Руст]

Во первых, то что я привёл не соответствует тому, что вы поняли.
Во вторых, я ещё тогда, когда привёл этот пример, понял что он не годится. И вообще всё это связано нечто типа противоречивыми множествами по классификации Котофеича. Так как я всегда к не рекурсивным множествам относился с некоторым подозрением, бросил искать пример.

[er]

Руст писал(а):

И вообще всё это связано нечто типа противоречивыми множествами по классификации Котофеича.

сомневаюсь

Руст писал(а):

Так как я всегда к не рекурсивным множествам относился с некоторым подозрением, бросил искать пример.

Здесь множество строится индукций, но не счетной, а до первого несчетного ординала.

Логики постарались и предъявили "нормальное" арифметическое утверждение (типа ВТФ), которое независит от аксиоматики Пиано, но верно в ZFC, доказывается трансфинитной индукцией до первого несчетного ординала.
(в 4-ом томе "Справочной книге по мат.логике")

Вообще то, этот пример меня обескуражил. Он имеет стркутуру Q="для все натуральных n верно P(n)", где P(n) нормальное арифметическое утверждение, которое для конкретного n проверяется за конечное число шагов. Так возникает вопрос, "на самом деле", Q верно? Ну, если кому поручить проверку P(n), он найдет когда либо n, для которого P(n) не верно?

[er]

вот еще..

Руст писал(а):

Так как я всегда к не рекурсивным множествам относился с некоторым подозрением, бросил искать пример.

Насколько понимаю, под рекурсивными множествами Вы понимаете то, что стандартно называют конструктивными множествами.

Я думаю, это можно доказать, что конструктивное множество P не может конденсироватся вокруг рациональных чисел. Хотя тоже не на 100%, смотреть надо..