Полнота базиса в пространстве Гильберта (критерии)

[st256]

Как доказывают эту полноту? Допустим, у меня есть группа ортогональных векторв. Есть какие-нибудь признаки, что эта группа образует полный базис?

[shwedka]

Докажите, что если вектор ортогонален всем векторам, то он должен быть нулем. То есть для вектора сосчитайте скалярное произведение со всеми данными, приравняйрте нулю и попробуйте отсюда вывести, что вектор должен быть равнен нулю. Детали зависят от конкретики.

[Really]

st256 в сообщении #155027 писал(а):

Есть какие-нибудь признаки, что эта группа образует полный базис?

Можно еще доказать, что какое-то всюду плотное множество представимо в виде линейных комбинаций векторов вашей системы.

[ewert]

Конкретных признаков в общей ситуации нет и быть не может, а вот критериев -- полно:

1). Если замыкание линейной оболочки совпадает со всем пространством.
2). Если ряд Фурье всегда сходится именно к раскладываемому элементу.
3). Если из ортогональности элемента любому члену последовательности следует, что этот элемент равен нулю.
4). Если неравенство Бесселя всегда сводится к равенству Парсеваля.

Может, кто ещё чего вспомнит.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #155119 писал(а):

Может, кто ещё чего вспомнит.

Например, я вспомнил, что не все Гильбертовы пространства сепарабельны...

[st256]

shwedka писал(а):

Докажите, что если вектор ортогонален всем векторам, то он должен быть нулем. То есть для вектора сосчитайте скалярное произведение со всеми данными, приравняйрте нулю и попробуйте отсюда вывести, что вектор должен быть равнен нулю. Детали зависят от конкретики.

Спасибо, Леди. Ценное указание. Попробую.

Добавлено спустя 8 минут 55 секунд:

ewert писал(а):

Конкретных признаков в общей ситуации нет и быть не может, а вот критериев -- полно:

1). Если замыкание линейной оболочки совпадает со всем пространством.

Тут такая весчь... Я не математик, а радиотехник. Потому многие Ваши термины я не знаю. Хотя, возможно, мы их просто называем иначе. Вот "линейная оболочка" меня в этом ракурсе несколько смущает

Цитата:

2). Если ряд Фурье всегда сходится именно к раскладываемому элементу.

Что такое ряд Фурье в Вашем понимании? Синус с косинусом? У нас под рядом Фурье понимют просто любой базис.

Цитата:

4). Если неравенство Бесселя всегда сводится к равенству Парсеваля.

Равенство Бесселя где посмотреть можно?

[venja]

shwedka писал(а):

Докажите, что если вектор ортогонален всем векторам, то он должен быть нулем. То есть для вектора сосчитайте скалярное произведение со всеми данными, приравняйрте нулю и попробуйте отсюда вывести, что вектор должен быть равнен нулю. Детали зависят от конкретики.

По моему опыту именно этот критерий является наиболее используемым при доказательстве полноты. Почти стандартным при доказательстве полноты является такое начало: Пусть система не полна. Тогда существует ненулевой вектор х, ортогональный всем векторам системы ... А конец таков: тогда х=0 - противоречие.