Сумма ряда

[Женисбек]

Как оценить сверху сумму ряда

$$\sum_{n=1}^\infty\frac 1{2^{\sqrt{n}}}$$

?

Добавлено спустя 14 минут 36 секунд:

Самое простое наверное так:

$$\sum_{n=1}^\infty\frac 1{2^{\sqrt{n}}}\le\int_1^\infty\frac 1{2^{\sqrt{x-1}}}dx=\frac 2{\ln^2 2}$$

да?

[mkot]

Нужно заметить, что если есть ряд $\sum_k f(k)$, $f(x)$ не возрастает, то

$$f(k) \leqslant \int_{k-1}^k f(x) \mathrm{d}x$$

, следовательно

$$ \sum_{k=1}^n f(k)\leqslant \int_0^n f(x) \mathrm{d} x $$

Переходя к пределу, получим требуемую оценку.

[ИСН]

Оценим корень целой частью корня. (Это - снизу; значит, член ряда будет оценён сверху.) Тогда что получится:
три раза 1
пять раз 1/2
семь раз 1/4
...
а эту сумму легко посчитать в точности.

Добавлено спустя 4 минуты 49 секунд:

Женисбек, Вы, вероятно, хотели сказать что-то другое.
mkot, Вы предлагаете оценить сумму интегралом, который сам непонятно как оценивать.

[Женисбек]

ИСН писал(а):

Женисбек, Вы, вероятно, хотели сказать что-то другое.

Да, извините, забыл корень поставить
Но Вы, видимо, тоже хотели сказать что-то другое

[mkot]

ИСН писал(а):

mkot, Вы предлагаете оценить сумму интегралом, который сам непонятно как оценивать.

Почему не понятно? Он точно считается. Даже написано как:

Женисбек писал(а):

$$\sum_{n=1}^\infty\frac 1{2^{\sqrt{n}}}\le\int_1^\infty\frac 1{2^{\sqrt{x-1}}}dx=\frac 2{\ln^2 2}$$

Я может быть не совсем определённо написал свою мысль.

[ИСН]

Чёрт... торможу, мне этот интеграл показался каким-то неприятным и я с ним не стал разговаривать. В результате получил оценку в два раза хуже, зато методами средней школы.