предел функции (без Лопиталя и Тейлора)

[citadeldimon]

Я имел ввиду эту формулу $e^{ix}=cosx+isinx$

Если поставить условие про использование только методов и знаний
математического анализа, то выходит замкнутый круг, но если
воспользоваться комплексным анализом - то возникают новые
возможности. Стоит напомнить про исчисление интегралов от
действительнозначных функций методами комплексного - ну согласитесь,
иногда выходит очень красиво и просто.

[zoo]

citadeldimon писал(а):

$e^{ix}=cosx+isinx$

я спросил откуда она взялась а не как она выглядит

[citadeldimon]

Ответ поправил, а взялась с разложений в степенные ряды.

[zoo]

citadeldimon писал(а):

Ответ поправил, а взялась с разложений в степенные ряды.

а откуда взялось разложение в степ. ряды для $e^{ix}$?

[citadeldimon]

zoo Вы меня переспорили, сдаюсь, а то так и до аксиоматики математики недалеко

[id]

Ну формула Эйлера ( более того, само выражение для комплексной функции $e^{x+iy}$ ) выводится буквально из предельного определения, аналогично вещественному.

[citadeldimon]

id писал(а):

Ну формула Эйлера ( более того, само выражение для комплексной функции $e^{x+iy}$ ) выводится буквально из предельного определения, аналогично вещественному.

Интересно, а как это поподробней?

[id]

citadeldimon
Если кратко, см. Шабат "Введение в комплексный анализ Т.1" стр. 72.

[ewert]

Сам Эйлер действительно эту формулу вроде бы угадал, сравнивая разложения в степенной ряд для синуса, косинуса и экспоненты. Но я обычно объясняю эту формулу совсем с других позиций. Чего, собственно, нам хочется от комплексной экспоненты? Во-первых, выполнения требования $e^{i(a+b)}=e^{ia}\cdot e^{ib}$. Во-вторых (чтобы выделить именно экспоненту среди прочих показательных функций), $\left(e^{it}\right)^{\prime}=i\cdot e^{it}$. Ну так функция $\cos(t)+i\,\sin(t)$этим требованиям как раз и удовлетворяет. Потом произношу загадочную фразу: дескать, из теории дифференциальных уравнений следует, что другой такой функции не существует. Жульничество, конечно, но ссылка на ряды попросту невозможна -- это обычно начало первого семестра, и никаких рядов вообще в помине нет.

[mkot]

citadeldimon писал(а):

Согласен, но есть и немного другой вариант - сделать замену $x=it$ и
воспользоваться формулой Эйлера, а производные синуса и косинуса известны.

(1) Замена $x=it$ никуда не годится, т. к. $t$ оказывается не вещественным, а чисто мнимым,
а в формуле Эйлера в $it$ параметр $t$ вещественен.

(2) Если Вы попробуйте рассуждать, что $x$ это комплексный параметр, и использовать комплексный анализ, то Вы всё равно где-нибудь будете вынуждены применить

$$(\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x$$

(либо при доказательстве $(\mathrm{e}^z)' = \mathrm{e}^z$, либо при доказательстве аналитичности, либо ещё где-нибудь).

[citadeldimon]

mkot в сообщении #155022 писал(а):

(1) Замена никуда не годится, т. к. оказывается не вещественным, а чисто мнимым,

а в формуле Эйлера в параметр вещественен.

Например, как посчитать интеграл $\int\limits_0^{+\infty}\frac{cosx}{x^2+1}dx$ используя только методы
математического анализа? С ходу сам и не знаю как, но думаю не
элементарно. Но если воспользоваться теорией вычетов (или остатков -
не знаю как правильно на русском) и перейти к комплексным числам, то
это одна строчка и в результате выйдет действительное число.

mkot в сообщении #155022 писал(а):

(2) Если Вы попробуйте рассуждать, что это комплексный параметр, и использовать комплексный анализ, то Вы всё равно где-нибудь будете вынуждены применить



(либо при доказательстве , либо при доказательстве аналитичности, либо ещё где-нибудь).

Мои рассуждения следующее: для того чтоб найти производную функции
$e^{ix}=cosx+isinx$ я воспользуюсь условиями Коши-Римана. И где я там
буду использовать $(e^x)'=e^x$?

[mkot]

Заметим, что $e^x = e^{x + i\cdot 0} = e^x \cdot (\cos 0 + i \cdot \sin 0), x, y \in \mathbb{R}$.
По другому никак.

[citadeldimon]

$e^x=e^{i\cdot (-ix)}=cos(-ix)+isin(-ix)$

[zoo]

ewert в сообщении #155014 писал(а):

это обычно начало первого семестра

а что формула Эйлера делает в начале первого семестра зачем она там?

[mkot]

citadeldimon, я понял о чём Вы. Вы рассматриваете синус и косинус комплексного аргумента. Меня просто запутала буква $x$, которой обычно обозначают вещественные значения.

Но!
(1) id писал про доказательство этой формулы из предельного соотношения аналогичного вешественному, но это доказательство только в случае, когда $y \in \mathbb{R}$, т. е.
$e^{iy} = \cos y + i \sin y, \quad y \in \mathbb{R}$.
(2) Поэтому у Вас есть два пути обобщить эту формулу Эйлера на комплексный аргумент:
(а) Положить по определению косинус комплексного аргумента как
$\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$, как это по-моему это и делается у Шабата. Синус
определяется примерно также. Но тогда вы и производную косинуса будите вынуждены определить из производной экспоненты, что мы делать как раз не хотим.
(б) Определить $\cos z$ и $\sin z$ как суммы рядов. Тогда, чтобы доказать формулу Эйлера,
замечаем, что сумма этих рядов ($\sin$ предварительно домножен на $i$) представляет
собой ряд для экспоненты. Таким образом, чтобы всё было корректно необходимо определять
$e^z$ через сумму ряда:

$$ e^z := \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}. $$

Вы это и имели ввиду?
Тогда после этого остаётся доказать (докажите!), что $e^1 = e$ и всё ok.