О сходимости кратных рядов

[Женисбек]

Верно ли, что ряд

$$\sum_{m,n=1}^\infty\frac 1{m^2+n^2}$$

расходится?

[Gafield]

Да.

[ewert]

после оценки -- через двойной интеграл в полярных координатах (это например; мне это кажется наиболее естественным)

[ShMaxG]

ewert
Гениально.

[citadeldimon]

А что скажете про сходимость $\sum\limits_{n,m=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+m}}{nm}$

[ShMaxG]

citadeldimon писал(а):

А что скажете про сходимость $\sum\limits_{n,m=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+m}}{nm}$

Сходится.

[citadeldimon]

А можно подетальней без размахивания руками

[ShMaxG]

\[ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^n }} {n}\frac{{\left( { - 1} \right)^m }} {m}} } = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^n }} {n}\sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^m }} {m}} } \right]} \]

Добавлено спустя 2 минуты 53 секунды:

причем сходится к

\[ \ln ^2 2 \]

[citadeldimon]

А если написать $\sum\limits_{n,m=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{nm}}{m+n}?$ И еще, есть ли признаки сходимости для кратных рядов, а то я никогда такого не встречал, а интересно?

[AD]

ShMaxG, а почему из сходимости повторного ряда следует сходимость кратного? Не понял вашего рассуждения.

[ShMaxG]

AD
А это очень хороший вопрос.
Считайте, что я проверял внимательность citadeldimon.

[citadeldimon]

ShMaxG в сообщении #154636 писал(а):

А это очень хороший вопрос.

Считайте, что я проверял внимательность citadeldimon.

Да меня не надо проверять на внимательность, если бы ряд был с положительных элементов, то это решение было бы правильным. Главный вопрос для меня в этом - как показать что интеграл не зависит от выбора метода суммирования. Не подскажет ли что то в этой сфере?

[AD]

citadeldimon в сообщении #154637 писал(а):

Главный вопрос для меня в этом - как показать что интеграл не зависит от выбора метода суммирования.

Скажем, можно шарахнуть общей теоремой Фубини для интеграла Лебега.

Ну а для числовых рядов всегда можно сказать, что сумма ряда не зависит от порядка суммирования тогда и только тогда, когда ряд сходится абсолютно. Это теорема Римана называется.

То есть вы, прежде чем говорить о сходимости ряда

citadeldimon в сообщении #154619 писал(а):

$\sum\limits_{n,m=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+m}}{nm}$

должны вообще-то указать, в каком порядке суммируете (треугольничками, прямоугольничками, повторно, ...)

[citadeldimon]

Я просто видел подобный факт в одной статье и меня это немного удивило, теперь ясно - автор просто не указал метод суммирования, может и нарочно

[Женисбек]

Спасибо!