О сходимости кратных рядов : Анализ-I fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 О сходимости кратных рядов
Сообщение30.10.2008, 14:38 


13/06/08
78
Казахстан
Верно ли, что ряд
$$\sum_{m,n=1}^\infty\frac 1{m^2+n^2}$$
расходится?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.10.2008, 14:54 
Заслуженный участник


22/01/07
605
Да.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.10.2008, 16:25 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
после оценки -- через двойной интеграл в полярных координатах (это например; мне это кажется наиболее естественным)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.10.2008, 16:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
ewert
Гениально.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.10.2008, 20:46 
Аватара пользователя


16/02/06
222
Украина
А что скажете про сходимость $\sum\limits_{n,m=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+m}}{nm}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.10.2008, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
citadeldimon писал(а):
А что скажете про сходимость $\sum\limits_{n,m=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+m}}{nm}$


Сходится.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.10.2008, 21:17 
Аватара пользователя


16/02/06
222
Украина
А можно подетальней без размахивания руками :lol:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.10.2008, 21:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
\[
\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\sum\limits_{m = 1}^\infty  {\frac{{\left( { - 1} \right)^n }}
{n}\frac{{\left( { - 1} \right)^m }}
{m}} }  = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^n }}
{n}\sum\limits_{m = 1}^\infty  {\frac{{\left( { - 1} \right)^m }}
{m}} } \right]} 
\]

Добавлено спустя 2 минуты 53 секунды:

причем сходится к \[
\ln ^2 2
\]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.10.2008, 21:23 
Аватара пользователя


16/02/06
222
Украина
А если написать $\sum\limits_{n,m=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{nm}}{m+n}?$ И еще, есть ли признаки сходимости для кратных рядов, а то я никогда такого не встречал, а интересно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.10.2008, 21:30 
Экс-модератор


17/06/06
5004
ShMaxG, а почему из сходимости повторного ряда следует сходимость кратного? Не понял вашего рассуждения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.10.2008, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
AD
А это очень хороший вопрос.
Считайте, что я проверял внимательность citadeldimon.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.10.2008, 21:47 
Аватара пользователя


16/02/06
222
Украина
ShMaxG в сообщении #154636 писал(а):
А это очень хороший вопрос.

Считайте, что я проверял внимательность citadeldimon.

Да меня не надо проверять на внимательность, если бы ряд был с положительных элементов, то это решение было бы правильным. Главный вопрос для меня в этом - как показать что интеграл не зависит от выбора метода суммирования. Не подскажет ли что то в этой сфере?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.10.2008, 22:15 
Экс-модератор


17/06/06
5004
citadeldimon в сообщении #154637 писал(а):
Главный вопрос для меня в этом - как показать что интеграл не зависит от выбора метода суммирования.
Скажем, можно шарахнуть общей теоремой Фубини для интеграла Лебега.

Ну а для числовых рядов всегда можно сказать, что сумма ряда не зависит от порядка суммирования тогда и только тогда, когда ряд сходится абсолютно. Это теорема Римана называется.

То есть вы, прежде чем говорить о сходимости ряда
citadeldimon в сообщении #154619 писал(а):
$\sum\limits_{n,m=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+m}}{nm}$
должны вообще-то указать, в каком порядке суммируете (треугольничками, прямоугольничками, повторно, ...)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.10.2008, 22:32 
Аватара пользователя


16/02/06
222
Украина
Я просто видел подобный факт в одной статье и меня это немного удивило, теперь ясно - автор просто не указал метод суммирования, может и нарочно :lol:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.10.2008, 11:31 


13/06/08
78
Казахстан
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group