Формула работы

[Future engineer-builder]

Народ извините за может быть тупой вопрос, но почему в формуле $A = Fdr = FcosadS$,
имеет место равенство $dS=dr$ по модулю
Ведь путь $S$ - расстояние отсчитанное по траектории, которая может быть кривой, а $dr$ - вектор, соединяющий начальное и конечное положение м.т. Кривая же длинее прямой.

[chiba]

Для бесконечно малых перемещений путь и перемещение по модулю совпадают. Советую нарисовать какую-нибудь кривую и самому сравнить путь и перемещение, выбирая все меньший и меньший участок траектории. Взять, например, в качестве траектории окружность. Чем меньше будет дуга на окружности, тем больше она будет походить на свою хорду. В пределе они совпадут.

[Munin]

Физики этого явно не оговаривают, но вообще говоря механика как теория подразумевает движение всех точек и тел не по произвольным функциям времени и произвольным линиям, а только по гладким функциям и по гладким кривым (разрешаются кусочно-гладкие в некотором смысле). А для гладкой кривой $S$, если её разбить на множество дифференциально малых кусочков $dS$, то каждый такой кусочек оказывается почти прямым, в пределе - совпадающим с прямым кусочком секущей или касательной. И кроме того, совпадает по направлению в пределе же. Если хотите подробностей, почитайте любую начальную книжку по дифференциальной геометрии, например, А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко "Курс дифференциальной геометрии и топологии".

[Zai]

Future engineer-builder писал(а):

$A = Fdr = FcosadS$

Путь работы силы рассчитывается только в направлении действия силы. Если Вы перенесли груз в горизонтальном направлении, сила действовала в перпендикулярном направлении к перемещению, то работа равна нулю. Земля, вращаясь вокруг Солнца не совершает работы по той же причине.

[Munin]

Я интерпретировал формулу так, что в первом случае записано скалярное произведенине векторов, а во-втором чисто скалярное выражение.

[Future engineer-builder]

Хочу себя проверить на самостоятельность по этим задачам под Вашим пристальным вниманием :

1) Материальная точка массой $m = 1$ кг двигается под действием некоторой силы $F$ согласно уравнению $S = 3t + 5t^2$ м. Определить работу $A$ силы и среднюю мощность $<N>$ за время $t = 1$ с, мгновенную мощность $N$ в момент
времени $t = 1$ c.

Мой ответ: $80;80;130$.

2)Тангенциальное ускорение материальной точки, движущейся по криволинейной траектории, изменяется по закону $a_\tau = CS$, где $C=5$ $c^-^2$, а $S$- пройденный путь. Масса точки равна $m = 5$кг. Чему равна работа $A$ сил, действующих на материальную точку на участке траектории $(S-S_0) = 5$ м?

Мой ответ:$312,5$

[Munin]

В первой у меня получилось то же, что и у вас. Вторую не могу решить: недостаточно данных. Могу найти только общий вид движения: $S(t)=C_1\exp(\sqrt{\!A\,}\,t)+C_2\exp(-\sqrt{\!A\,}\,t).$ Кстати, там две разных величины обозначены $A.$

[Архипов]

Future engineer-builder писал(а):

Хочу себя проверить на самостоятельность по этим задачам под Вашим пристальным вниманием :

2)Тангенциальное ускорение материальной точки, движущейся по криволинейной траектории, изменяется по закону $a_\tau = CS$, где $C=5$ $c^-^2$, а $S$- пройденный путь. Масса точки равна $m = 5$кг. Чему равна работа $A$ сил, действующих на материальную точку на участке траектории $(S-S_0) = 5$ м?

Мой ответ:$312,5$

Решения не видно. Ответ верный ( из задачника взят?).
А какова мощность в конце участка и средняя мощность? (вот и проверим на самостийность)

[chiba]

Future engineer-builder писал(а):

2)Тангенциальное ускорение ...

Мой ответ:$312,5$

У меня тоже такой же.

Munin в сообщении #154673 писал(а):

Вторую не могу решить: недостаточно данных. Могу найти только общий вид движения

А там мне кажется и не нужен вид движения. Есть зависимость тангенциальной силы от пути. Все что остается это только проинтегрировать

[GAA]

Если бы в условии не было буквы $S_0$, то все было бы «легко и просто». Однако в данном случае
$A = \int\limits_{S_0}^S {m c S} dS = m c (S^2/2 - S_0^2/2)$,
и данных условия не хватает.

Понятно, что хотели спросить, понятно, что нужно ответить, но в ответе желательно указать: для его получения положили $S_0 = 0$, либо считали $a_{\tau} = c(S-S_0)$.

[chiba]

GAA писал(а):

Если бы в условии не было буквы $S_0$, то все было бы «легко и просто».

Согласен. Пропустил.

[GAA]

chiba писал(а):

Советую нарисовать какую-нибудь кривую и самому сравнить путь и перемещение, выбирая все меньший и меньший участок траектории. Взять, например, в качестве траектории окружность. Чем меньше будет дуга на окружности, тем больше она будет походить на свою хорду. В пределе они совпадут.

Непосредственно этот процесс, очевидно, нам ничего не покажет: в пределе получим точку и это даже не для гладкого, а только для непрерывного пути. Равенство мы получим, но это будет — равенство нулей. Думаю, требуется большая аккуратность в рассмотрении этого вопроса. В курсе «высшей математики» в технических учебных заведениях или «математического анализа» ф.ф., этот вопрос изучается детально, см., понятия дифференциала и криволинейного интеграла второго рода, например, в [1], [2]. На момент изучения механики [в курсе «Общей физики» на ф.ф., либо в курсе «Физика» тех. уч. заведений], соответствующие разделы математики еще не прочитаны. Поэтому преподаватели физики обычно говорят: «позже математики вам все обоснуют».

[1] Никольский С.М. Курс математического анализа. [В т.1 см. дифференцируемость, в т.2 — криволинейный интеграл второго рода].
[2] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. [также как и в предыдущем случае: в т.1 см. дифференцируемость, в т.2 — криволинейный интеграл второго рода].

[Munin]

chiba в сообщении #154685 писал(а):

А там мне кажется и не нужен вид движения. Есть зависимость тангенциальной силы от пути.

Только $S_0$ не задано. Или вы из определения пути берёте $S(0)=0?$

[Future engineer-builder]

Цитата:

Решения не видно. Ответ верный ( из задачника взят?).

Тангенциальное ускорение материальной точки, движущейся по криволинейной траектории, изменяется по закону $a_\tau = CS$, где $C=5$ $c^-^2$, а $S$- пройденный путь. Масса точки равна $m = 5$кг. Чему равна работа $A$ сил, действующих на материальную точку на участке траектории $\Delta S = 5$ м?

Решение:
под выражением $S-S_0$ имелось в виду $\Delta S$

По определению $A=\int_0^S FdS$
По II-му з-ну Ньютона $ma_\tau=F_\tau$
$A=mC\int_0^S SdS=mC(S^2/2)$

Цитата:

А какова мощность в конце участка и средняя мощность? (вот и проверим на самостийность)

$<N>=984,4$
$N=1,968*10^3$

[GAA]

Future engineer-builder писал(а):

под выражением $S-S_0$ имелось в виду значок дельта $S$ (я не знаю как его тут писать, но это маленький треугольник перед S)

Если навести "указатель мышки" на $\Delta S$, то увидите, как набирать. Две прилепленных темы в разделе Работа форума посвящены набору формул.