2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Ряды!
Сообщение30.10.2008, 00:29 
Аватара пользователя
Здравствуйте!
Помогите вычислить суммы!
I=$\sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{{\cot(k\pi \sqrt 3 )}}{{k^3 }}}$
J=$\sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{{\tg[(k-1/2)\pi \sqrt 3 ]}}{{(2k-1)^3 }}}$

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 17:18 
$\cot x \equiv ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$?
А Вы ряды на сходимость проверяли?
Если да, то в каком смысле Вы предлагаете суммировать?

 
 
 
 
Сообщение04.11.2008, 00:16 
Аватара пользователя
Sonic86 писал(а):
$\cot x \equiv ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$?

Да!
Цитата:
А Вы ряды на сходимость проверяли?

Нет

 
 
 
 
Сообщение04.11.2008, 02:26 
А что, есть основания полагать, что ответ можно выразить в замкнутом виде? Интересно тогда, почему. Или изначально задача была "исследовать на сходимость"? :)

 
 
 
 Re: Ряды!
Сообщение04.11.2008, 10:48 
phunico писал(а):
Здравствуйте!
Помогите вычислить суммы!
I=$\sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{{\cot(k\pi \sqrt 3 )}}{{k^3 }}}$
J=$\sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{{\tg[(k-1/2)\pi \sqrt 3 ]}}{{(2k-1)^3 }}}$




А действительно интересно, как себя ведет
$\sin (k\pi \sqrt 3 ) $?
Когда-то что-то подобное мне уже попадалось.

 
 
 
 
Сообщение04.11.2008, 12:04 
Аватара пользователя
Синус ведёт себя хаотически, а тангенс ещё гораздо хуже. По сути, вопрос о стремлении общего члена к нулю (это не говоря даже о сходимости) сводится к приближению $\sqrt 3$ рациональными. Будучи квадратичной иррациональностью (или там уже просто алгебраичности достаточно?), он приближается плохо. Это нам как раз хорошо.

 
 
 
 
Сообщение04.11.2008, 16:35 
phunico, а Вы попробуйте проверьте стремление энного члена к нулю - кажись он к нему не сходится. Тогда и вопрос о сумме отпадет - ложный вопрос.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group