Доказать существование линейных форм

[Phoenix]

Прошу помощи в решении следующей задачи...
Пусть $V$ векторное пространство над полем $K$. $U, W$ - подпространства $V$, притом $V=U \oplus W$. Путь $(w_i)_i$_\in$_M$ - базис $W$.
Доказать:
$\forall i \in M$ существуют линейные формы \lambda_i$ \in V^* $ : $U=\bigcap_{i \in M} Ker(\lambda_i)$.

Вот, что у меня получилось (вроде правильно, но я не уверен):
Путь $(u_i)_i$_\in$_J$ - базис $U$, a $(w_i)_i$_\in$_M$ - базис $W$. Пусть $J$ и $M$ дизъюнктны. Тогда, $(u_i)_i$_\in$_J_\sqcup _M$ - базис $V$, (это неочевидно, но док-во простое - лень писАть).
Однозначно (?) определяем линейную форму $\forall i \in M$: \lambda_i : V \to K: \lambda_i (u_j)=0 $\forall j \in J$ и \lambda_i (w_j)=\delta_i_j $\forall j \in M$.
\subseteq Очевидно $\forall i \in M$ $U \subseteq \bigcap_{i \in M} Ker(\lambda_i)$
\supseteq Пусть $v \in Ker(\lambda_i)$ \to $v=w+u$. $\forall i \in M$ $v \in Ker(\lambda_i)$
$u \in Ker(\lambda_i)$ \to $v-u=w \in Ker(\lambda_i)$. Пусть $w = \sum_{j \in M'} a_j w_j$ $M' \subseteq M$ $dim(M')< \infty$ : 0=\lambda_i (w)=\lambda_i (\sum_{j \in M'} a_j w_j) = \sum_{j \in M'} a_j \lambda_i (w_j) = a_i \to $\forall i \in M'$$a_i = 0$ $w=0$ \to $v=u \in U$ \to
$\bigcap_{i \in M} Ker(\lambda_i) \supseteq U$

Собственно вопросов у меня несколько:
1. Смущает, что размерность ВП неоговорена. Поэтому, где именно в док-ве (и нужно ли вообще, по всей видимости - да) применять аксиому выбора (или эквивалентные формулировки)?
2. Могу ли я так произвольно (см.выше) сам определять линейные формы. Может есть другие варианты? Просто "не вижу" ответов на эти вопросы... Помогите пжл!

[Кролик]

Phoenix писал(а):

Собственно вопросов у меня несколько:
1. Смущает, что размерность ВП неоговорена. Поэтому, где именно в док-ве (и нужно ли вообще, по всей видимости - да) применять аксиому выбора (или эквивалентные формулировки)?
2. Могу ли я так произвольно (см.выше) сам определять линейные формы. Может есть другие варианты? Просто "не вижу" ответов на эти вопросы... Помогите пжл!

— На счётность базиса вроде бы Вы опираетесь в явном виде. Для бесконечномерных векторых пространств с несчётным базисом (напр. пространства обобщённых функций медленного роста Шварца) доказательство вероятно не проходит.  

[lofar]

Все у Вас верно. Аксиома выбора нужна для доказательства существования базиса в векторном пространстве (Вы используете базис в $U$). Коль скоро базис задан, для определения линейных форм аксиома выбора не требуется.

[Phoenix]

Спасибо - вселили уверенность)))