Задача о разрезании блинов ( топология )

[id]

Столкнулся недавно с рядом задач, ключевым моментов в которых является разрезание блина ( т.е. разделение области ) на несколько равных частей.

Приведу соображения по поводу частных случаев ( 12'4x из "Задачной топологии" ):

12.7x:
Если $A$ - ограниченное открытое связанное множество на плоскости и $l$ - прямая на этой плоскости, то существует прямая $L$, параллельная $l$, делящая $A$ на два множества равной площади.

Соображения:
Достаточно рассмотреть функцию $f(x) = S_1-S_2$, где $x$-смещение относительно $l$ прямой $l'$, пересекающей мн-во $A$ параллельно $l$, а $S_1,S_2$ - соответственно площади частей. В крайних точках она принимает положительные/отрицательные значения, множество $A$ связано $\Rightarrow$ $\exists x_0: f(x_0) = 0$. Прямая $l'$ со смещением $x_0$ относительно $l$ и будет исходной.

12.8x:
А что если множество несвязанно?

Соображения:
Полагаю, что соображения из первой задачи опять же будут иметь место, только теперь ф-ю нельзя считать определенной именно на $A$, значение $x$ должно браться просто из интервала/отрезка (т.е связанного множества)

12.11x:
А что если нож кривой? Для какой формы лезвия можно обобщить задачу?

Соображения:
Не уверен. Ясно, что для "не слишком кривой" кривой соображения из первой задачи будут справедливыми. Как конкретнее сформулировать - не знаю.

12.9x
Пусть $A,B$ - ограниченные открытые дизъюнктные множества на плоскости. Доказать, что $\exists$ прямая, делящая каждое из них пополам.

Сображения:
Что-то не очень соображается, интересно было бы послушать предложения.

12.10x
Если $A$ - ограниченное открытое связанное множество на плоскости, то существуют две перпендикулярные прямые, делящие мн-во $A$ на четыре равные части. ( На самом деле, вместо двух перпендикулярные прямых тут могут быть, по-моему, и три луча из одной точки под углами $\frac \pi 3$, и много чего другого )

Соображения:
Не уверен, но быть может можно решить так же, как и первую, только нужно рассмотреть функцию $f(x,y,\alpha)$, где $x,y$ - координаты центральной точки, $\alpha$ - поворот "ножа". Причем эта функция должна обращаться в минус, в плюс, и в ноль она должна обращаться тогда и только тогда когда $\forall i \neq j |S_i - S_j| = 0$. Как она должна выглядеть - не знаю.

Было бы интересно выслушать Ваши предположения о том, как эти задачи следует решать, правильны ли мои соображения.

[Henrylee]

id писал(а):

В крайних точках она принимает положительные/отрицательные значения, множество $A$ связано $\Rightarrow$ $\exists x_0: f(x_0) = 0$.

Довод неубедительный. Здесь нужно оттолкнуться от непрерывности функции $f$, которую еще необходимо аккуратно обосновать (если она вообще имеет место).

id писал(а):

12.8x:
А что если множество несвязанно?

Соображения:
Полагаю, что соображения из первой задачи опять же будут иметь место, только теперь ф-ю нельзя считать определенной именно на $A$

А разве у Вас в прошлой задаче $x\in A$?

[id]

Henrylee
Непрерывность место имеет.

Что касается второго - то тут я, видимо, не очень понятно выразился. Функция определена не на $A$, а на некотором интервале $(a,b) \subset \mathbb{R}$, для которого прямая с данным смещением пересекает $A$. Т.к. $A$ связано, этот интервал связан и можно применить теорему о непрерывности связанного образа связанного множества.

[Henrylee]

id писал(а):

12.11x:
А что если нож кривой? Для какой формы лезвия можно обобщить задачу?

Соображения:
Не уверен. Ясно, что для "не слишком кривой" кривой соображения из первой задачи будут справедливыми. Как конкретнее сформулировать - не знаю.

Может быть что-то вроде: если кривую можно расположить на плоскости и таким образом, что множество $A$ лежит целиком по одну сторону от кривой, и таким, что целиком по другую.

[id]

Henrylee писал(а):

Может быть что-то вроде: если кривую можно расположить на плоскости и таким образом, что множество $A$ лежит целиком по одну сторону от кривой, и таким, что целиком по другую.

Это как раз очень похоже на требование о возможности построения функции, принимающей положительные и отрицательные значения ( и чтобы можно было применить связанность образа ).

[id]

Было бы все-таки очень интересно выслушать предположения...

[Brukvalub]

id в сообщении #154559 писал(а):

Было бы все-таки очень интересно выслушать предположения...

Да какие уж там предположения...Все эти задачи - во....от с такой бородой, известны они еще со школьного кружка.
Например, см. http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=56789

[id]

Brukvalub
Спасибо, действительно, в данном случае задача решается элементарными методами.


А как быть в более общем случае, если разрез кривой, частей - n штук? Есть ли функция от разности площадей $S_i-S_j$, удовлетворяющая условиям?