2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычислить пределы.
Сообщение06.03.2006, 10:22 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Доказать существование и вычислить пределы:
1. $x_0=1,x_{n+1}=\sin {x_n}, \ \lim_{n \to \infty} x_n \sqrt n $.
2. $x_0=1,x_{n+1}=\sin {(\tg {(\sin {x_n})})}, \ \lim_{n \to \infty} x_n n^{1/4}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.03.2006, 18:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Добавьте уж честно:
3) Рассмотрим последовательность $x_0=1,x_{n+1}=f(x_n)$.
Приведите пример условий для $f(x)$, при которых существует ненулевой предел $\lim\limits_{n \to \infty} x_n n^\beta $ для некоторого $\beta$.
Вычислить предел.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.03.2006, 19:28 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Решивший примеры может сказать ответы и на ваши вопросы для случая гладких в 0 функций с условием $|f(x)|<x$, при $x$ не равном нулю.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.03.2006, 19:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Как насчет ${\rm e}^{-\frac{1}{x^2}}$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.03.2006, 19:52 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Это очевидный вопрос, никакая степень не компенсирует убывание. Смысл имеют задачи, когда производная $f(x)$ в 0 1 - касание критической прямой (-1 так же можно рассмотреть когда последовательность бегает с одной стороны в другую, тогда и перед степенью $n$ надо поставить чередование знаков).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.03.2006, 20:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Как насчет $f(x) = x-{\rm e}^{-\frac{1}{x^2}}$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.03.2006, 20:49 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Сразу могу сказать только что сама последовательность стремится к нулю медленнее любой отрицательной степени от n.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.03.2006, 07:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Но ведь удовлетворяет всем Вашим требованиям: $f(x) < x$, $f'(0)=1$, бесконечно неперерывно-дифференцируема при $x \ge 0$.

Кстати, для всей прямой можно рассмотреть $f(x) = x(1-{\rm e}^{-\frac{1}{x^2}})$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.03.2006, 08:45 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
незванный гость писал(а):
:evil:
Но ведь удовлетворяет всем Вашим требованиям: $f(x) < x$, $f'(0)=1$, бесконечно непрерывно-дифференцируема при $x \ge 0$.


Я говорил только о возможности получения оценок. Так как все производные $x-f(x)$ равны 0 эта последовательность, как и новая удовлетворяет условиям:
$\lim_{n\to \infty} \frac {x_n}{(\ln n)^{0.5+\epsilon}}=0.$
$\lim_{n \to \infty} \frac {x_n}{(\ln n)^{0.5-\epsilon}}=\infty .$
Вообще я считал, что эта задача слишком простая для мех-матянина. Видать сейчас настоящие мех-матяне не посещают этот форум.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.03.2006, 23:18 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Даю решение этих простых задач. Так как $|f(x)|<x$ для этих функций начиная с первого члена, то последовательности стремятся к нулю. Производная в 0 равна 1 это приводит к степенному убыванию (за исключением вышеприведённого примера). Это доказывается оценкой множителя. Пусть
$f(x)=x(1-ax^k+o(x^k))\Longrightarrow 1-(a+\epsilon)x_n^k<\frac{x_{n+1}}{x_n}<1-(a-\epsilon)x_n^k$ начиная с некоторого номера.
Рассмотрим отношение $\frac{d(n+1+C)^{-r}}{d(n+C)^{-r}}=1-\frac{r}{n+C}(1+o(1))=1-a(d(n+C)^{-r})^k(1+\epsilon)$. Чтобы последнее выполнялось необходимо и достаточно:
$r=1/k,d=(ka)^{1/k}$. Более подробное рассмотрение показывает, что можно выбрать константы Сн и Св (нижнюю и верхнюю), что последовательность будет оцениваться сверху и снизу с соответствующими сдвигами. Это дает предел d имеющее значение $\frac {1}{\sqrt 3}$ для первого примера и $d=(\frac 25)^{1/4}, (k=4,a=1/10)$ для второго примера.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.03.2006, 00:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
То есть, Ваше требование -- разлжимость в ряд Тейлора. Я, как Вы понимаете, специально привел пример неразложимой бесконечно дифференцируемой функции.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.03.2006, 08:34 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Я уже сказал, что разложимость не при чём. Нужна оценка члена $x-f(x)$ вблизи 0. В вашем случае она не степенная, что приводит к очень медленному убыванию о порядке которой тоже указал.
Причём предел как правило практический не зависит от начальных значений. В приведённых мною примерах эта зависимость входит только через множитель знака $sign(x_1)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.03.2006, 10:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Правда, но не вся правда. А именно, если мы имеем дело с оценкой разложимости $x - f(x)$ вблизи нуля как $a x^k +{\rm O}(x^{k+1})$, я думаю, что мы можем показать существования соответсвующего отрезка ряда Тейлора.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group