Задание по линейной алгебре.

[Dmytro Sheludchenko]

Помогите , пожалуйста, разобраться с заданием по линейной алгебре.
1.) Матрица A удовлетворяет матричному уравнению $A^2-5A+2I=0$, где I единичная матрица. Докажите, что A обратима и найдите ей обратную.
2.)Найти значение параметра a такое что : 1.) нет решений системы уравнений.2.) единственное решение 3.)бесконечно много решений
Вот система уравнений $x+y+z=1,ax+2y+z=3,x+y+az=5$
Заранее благодарен.

[ewert]

1). Докажите, что ноль не может являться собственным числом исходной матрицы (собственные числа многочлена от матрицы -- это многочлен от собственных чисед).
2). Приравняйте к нулю определитель системы. Получите два числа, за исключением которых решение единственно. Каждое из этих двух чисел надо тупо подставить в систему и поглядеть, что выйдет в каждом случае.

[Dmytro Sheludchenko]

Проблема заключается в том, что в решение нельзя применять знания про детерминанты. Как решить по-другому, я не знаю .

[ewert]

В первой задаче детерминанты не нужны, про "собственное число" я упомянул для краткости. Во второй -- говоря по существу, нужны, иначе задача становится безыдейной. Но раз запрещены -- что ж, просто решите систему методом Гаусса (удобнее -- переставив столбцы в порядке $y$, $z$, $x$). Это -- такой жульнический трюк, когда фактически находят именно детерминант, но не называя чёрта по имени.

[Dmytro Sheludchenko]

Не могли бы Вы , пожалуйста, более детально объяснить решение первой задачи , что -то вообще не понимаю Во второй просто надо решить систему по Гауссу и рассмотреть разные случае.

[Xaositect]

Первую можно без всяких собственных чисел, просто по определению.
$A(\frac 5 2 I - \frac 1 2 A) = I$

[TOTAL]

Dmytro Sheludchenko писал(а):

1.) Матрица A удовлетворяет матричному уравнению $A^2-5A+2I=0$, где I единичная матрица. Докажите, что A обратима и найдите ей обратную.

Сначала решите такую задачу:
1') Матрица A удовлетворяет матричному уравнению $A(A-5I)=-2I$, где I единичная матрица. Докажите, что A обратима и найдите ей обратную.

[Dmytro Sheludchenko]

Никак не могу справиться с задачей с параметром . Пытаюсь приводит к ступенчатому виду по Гауссу , но не могу понять при каком а будет бесконечно много решений и при каком единственной решение.
Также преподаватель подкинул еще одну задачку :
$(2H+3I)^-1B=C$
Надо найти матрицу H , матрицы B и C имеют размер два на два и известны.Заранее спасибо!

[Brukvalub]

Dmytro Sheludchenko в сообщении #156656 писал(а):

Никак не могу справиться с задачей с параметром . Пытаюсь приводит к ступенчатому виду по Гауссу , но не могу понять при каком а будет бесконечно много решений и при каком единственной решение.

Давайте подумаем вместе - разве разумный человек, желающий выучить математику, не способен понять, что вот эта его фраза не несет НИКАКОЙ полезной информации? Вместо нытья: не могу решить, не получается, и т.п., нужно постучать по клавишам и набрать свои попытки решения здесь!!! Мы же не телепаты, чтобы по этому нытью понять, в чем состоит ошибка.

[Dmytro Sheludchenko]

Извиняюсь. Сначала из второй строки вычитаю первую умноженную на а, из третьей вычитаю первую . Матрица практически приведена к ступенчатому виду. В третьей строке , если а=1 получаются все нули коэфициенты и равны 4 , следовательно, при а=1 нет решений у системы. Дальше у меня возникают проблемы, ведь при а=2 во второй строке z получается равен -1 , а в третьей строке a=4.

Добавлено спустя 6 минут 44 секунды:

А в третьей получается z=4

[Brukvalub]

Итак, матрица приведена к виду: $\left( {\begin{array}{*{20}c} {} \\ {} \\ {} \\ \end{array}} \right.\left. {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & {2 - a} & {1 - a} \\ 0 & 0 & {a - 1} \\ \end{array}} \right|\left. {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ {3 - a} \\ 4 \\ \end{array}} \right)$ Если а=1, то третье уравнение противоречиво, и решений нет. Иначе, из третьего уравнения z находится однозначно. Если а=2, то у может быть любым, и решений бесконечно много. Иначе у и х определяются однозначно. Все.

[Dmytro Sheludchenko]

Спасибо, теперь понял. Теперь объясню проблемы с этой задачей $(2H+3I)^-1B=C$. Надо найти матрицу $H$. Для этого я умножил обе стороны уравнения на $2H+3I$.Потом открываю скобки и приравниваю соответствующее элементы получившихся матриц. Я не знаю просто можно ли так делать ?

[Brukvalub]

Dmytro Sheludchenko в сообщении #156754 писал(а):

Я не знаю просто можно ли так делать ?

Можно.

[Sensile]

При а=2 система тоже не имеет решений ( нужно подставить и привести получившуюся матрицу к ступенчатому виду, получится противоречивое уравнение)

[Dmytro Sheludchenko]

При а=2 получается , что z=4 и в тоже время оно равно -1, когда же будет бесконечно много решений ?