плотность чисел

[Руст]

Докажите, что плотность чисел, имеющих не более к простых делителей равна 0, т.е.

$$\lim_{x\to \infty }\frac{N_k(x)}{x} =0,$$

где $N_k(x)$ число натуральных чисел, не превосходящих х и имеющих не более k простых делителей.

[Батороев]

Руст писал(а):

Докажите, что плотность чисел, имеющих не более к простых делителей равна 0, т.е.

$$\lim_{x\to \infty }\frac{N_k(x)}{x} =0,$$

где $N_k(x)$ число натуральных чисел, не превосходящих х и имеющих не более k простых делителей.

Некогда, пытаясь проанализировать справедливость гипотезы Гольдбаха, прикидкой получил:

$$\lim_{x\to \infty }\frac{N_2(x)}{x} =\infty,$$

.
Неужели, ошибался?

Добавлено спустя 33 минуты 44 секунды:

Прошу прощения, у меня по прикидке было:

$$\lim_{x\to \infty }\frac{N_2(x^2)}{x} =\infty$$

.

[Зангези]

Руст писал(а):

Докажите, что плотность чисел, имеющих не более к простых делителей равна 0, т.е.

$$\lim_{x\to \infty }\frac{N_k(x)}{x} =0,$$

где $N_k(x)$ число натуральных чисел, не превосходящих х и имеющих не более k простых делителей.

Это напрямую следует из результата Ландау: $N_k(x) \sim \frac {x \cdot \ln^{k - 1}\ln x} {(k - 1)! \cdot \ln x}$ при $x \to \infty$.

[Sonic86]

Простой вариант: $x=p_1^{a_1}...p_k^{a_k} < n$, значит $a_j < ln n$, значит число таких чисел не более $ln^k n$, что всегда растет медленнее, чем n.

[Руст]

Sonic86 писал(а):

Простой вариант: $x=p_1^{a_1}...p_k^{a_k} < n$, значит $a_j < ln n$, значит число таких чисел не более $ln^k n$, что всегда растет медленнее, чем n.

$p_1,...,p_k$ не фиксированные простые числа, а любые из имеющихся, лишь бы произведение было ограничено этим числом сверху. Так, что все простые и их степени, не превосходящие х входят в $N_1(x)$, тем более в $N_k(x),k\ge 1$.

[Sonic86]

Ага, понял, действительно