Непоправимо-неVBшная функция

[AD]

Пусть $f$ определена почти всюду на $[0,1]$ и интегрируема по Лебегу на $[0,1]$, и $F$ - ее неопределенный интеграл. Назовем точку $x\in[0,1]$ правильной, если $f$ определена в $x$ и $f(x)=F'(x)$. Ясно, что почти все точки отрезка $[0,1]$ - правильные.

Пусть функцию $f$ нельзя (до,пере)определить на множестве меры нуль так, чтобы она стала функцией ограниченной вариации на $[0,1]$. Верно ли, что найдется такая монотонная последовательность $\{x_i\}_{i=1}^\infty$ правильных точек, что $\sum\limits_{i=1}^\infty |f(x_{i+1})-f(x_i)|=\infty$

Добавлено спустя 2 минуты 18 секунд:

То есть если бы была "просто всюду определённая" функция $f\notin\mathrm{VB}[0,1]$, то найти такую последовательность "просто точек" не сложно. А если начать гонять множества меры нуль, то чего-то не соображу.