2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Количество частей на сетке в методе Рунге-Кутта
Сообщение23.10.2008, 18:02 
При численном решении дифф. уравн. задачи Коши методом Рунге-Кутта
нужно задать сетку
$x_{i} = x_{i-1} + i*h$, где
$h = \frac{b - a}{n}$
какое значение при этом должно быть у $n$
понятно, что $n$ это ко-во частей на которые разделили ось.
На какое количество частей нужно делить? И связана ли точность (например нужно решить с точностью $10^{-4}$) с $n$?

 
 
 
 
Сообщение23.10.2008, 21:40 
порядок погрешности 4-ый: $$y(x_{i+1})-y_{i+1}=O(h^4)$$
сделайте нужный вывод

 
 
 
 Re: Количество частей на сетке в методе Рунге-Кутта
Сообщение23.10.2008, 21:55 
Аватара пользователя
Деблер писал(а):
При численном решении дифф. уравн. задачи Коши методом Рунге-Кутта
нужно задать сетку
$x_{i} = x_{i-1} + i*h$, где
$h = \frac{b - a}{n}$
какое значение при этом должно быть у n
понятно, что n это ко-во частей на которые разделили ось.
На какое количество частей нужно делить? И связана ли точность (например нужно решить с точностью $10^{-4}$) с n?

На самом деле методы Рунге-Кутты - это семейство методов. Так что уже в постановке вопроса неопределенность. Не затрагивая неявные методы Р-К, будем говорить только о явных.
Далее для методов Р-К существует понятие - "порядок" (точности) (напр. метод Р-К четвертого порядка (точности)).
Далее - "прижилась" формулировка: "стандартные методы Р-К" и "вложенные методы Р-К". Это важно для процедуры оценки ошибки на шаге интегрирования. При контроле ошибки стандартные методы более затратные чем вложенные при одинаковом порядке точности.
Таким образом интегрирование ДУ производится с переменным шагом, величина которого регулируется заданной заранее желаемой точностью. Ошибка на шаге , оцененная в какой либо норме сравнивается с заранее заданной. Шаг интегрирования считается удачным при непревышении заданной ошибки, в противном случае шаг уменьшается (тоже есть процедура на сколько уменьшить шаг) и вычисления повторяются с новым шагом пока не достигнется заданная точность. Есть еще тонкий момент оценки погрешности на шаге, если функция близка или проходит через 0. Ну об этом позже.
Вот Вам и ответы на Ваши вопросы: сетку задавать не нужно, n определиться само в конце отрезка интегрирования, а h - будет переменным.при заданной Вами точности.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group