Математическая логика

[tandser]

Прошу помощи в решении следующей задачи.

Пусть $f$: $X\to Y$ и $A\subseteq X$. Образом множества $A$ при отображении $f$ называется множество $f(A)$ = $\left\{ y \left| y = f(x), x\in A \right\}$. Пусть $B\subseteq Y$. Прообразом множества $B$ при отображении $f$ называется множество $f^-^1$(B) = $\left\{ x\in X$ \left| f(x)\in B \right\}$. Доказать, что $f^-^1$($A\cup B$) = $f^-^1$$(A)\cup f^-^1$(B).

Заранее благодарен.

[zkutch]

решение приведено в книжке И.И.Ляшко, А.К.Боярчук, Я.Г.Гай, Г.П. Головач Математический анализ, производная, интеграл Т.1, 2001г. на стр.16 в примере 16. (т.н. антидемидович)

Будьте пожалуйста внимательны при разборе так как в предыдущем аналогичном примере, только на образы а не на прообразы, на стр.16 пример 15 допущена ошибка в доказательстве. Сам пример верен, но в доказательстве применено ложное рассуждение. Не берусь классифицировать ее как грубую или просто ляпсус или еще каким-нибудь термином, но факт то что присутствует предложение которое ложно в допущениях условия примера. При определенном добавочном, нетривиальном, условии ошибка исчезнет. Но это условие не нужно для истинности примера.

Если не найдете, пишите.

Если не найдете книжку, то могу по вашему выбору выслать нужные страницы на мыло или выложить где-нибудь по вашему выбору

Кстати потом, было-бы хорошо, если у кого-нибудь есть возможность сообщить об этой ошибке авторам.

[Dan_Te]

Задача решается просто по определению.
В чем ваше затруднение?

[tandser]

Вообщем, привожу свой вариант решения:

$x\in f^-^1(A\cup B)$ тогда и только тогда, когда $f(x)\in A\cup B\Leftrightarrow f(x)\in A$ или $f(x)\in B\Leftrightarrow x\in f^-^1(A)$ или $x\in f^-^1(B)$ тогда и только тогда, когда $x\in f^-^1(A)\cup f^-^1(B)$. Что и требовалось доказать.

[PAV]

Все правильно.

[zkutch]

Если заинтересует, постарайтесь перенести это доказательство на равенство

f(A U B) = f(A) U f(B)

[tandser]

Весьма признателен за Ваши ответы.

Процитирую слова, сказанные однажды Оскаром Уайльдом: "Терпеть не могу логики. Она всегда банальна и нередко убедительна".

Сново прошу помощи. Условия задачи поставлены следующим образом:

На множестве натуральных чисел заданы предикаты $S(x, y, z)\equiv

Мой вариант решения:

Формула $F$ имеет вид $\forall y P(x, y, y)$. Следовательно, $\forall \exists x F(x)$, то есть, не существует такого $x$, для которого $F(x)$.

Как грамотнее выразить словами результат умножения 1 на число, и соотвественно правильнее записать решение.

[Dan_Te]

Во-первых, у вас квантор всеобщности употреблен без переменной, так нельзя.
Во-вторых, если вы хотели написать $\exists x\,(\forall y \,(x\times y = y)\,)$, то вы тем самым записали существование единицы, а не ее несуществование.

[tandser]

Dan_Te, не могли бы Вы записать итоговые решение представленной задачи.

[tandser]

Dan_Te, действительно, опечатка :) Вместо квантора следовало записать символ отрицания.

Формула $F$ имеет вид $\forall y P(x, y, y)$. Следовательно, $\neg \exists x F(x)$, то есть, не существует такого $x$, для которого $F(x)$.

Прошу того же, как грамотнее записать решение ибо в ВУЗе требуют чего то невероятного...

[bot]

tandser писал(а):

Прошу того же, как грамотнее записать решение ибо в ВУЗе требуют чего то невероятного...

Ну уж и невероятного! Всё легко понять на уровне обыденного сознания. Вот Вы написали: не существует х, для которого что-то там выполняется. А что это означает?
Пример. Не существует зайца с тремя ушами
Разве это не одно и то же, что у любого зайца количество ушей не равно трём?
А теперь вернитесь к Вашему утверждению и переформулируйте его аналогичным образом.

Получилось?
Теперь попробуйте сформулировать отрицание утверждения, начинающегося с квантора всеобщности так, чтобы оно начиналось не с отрицания:
У всякого зайца 2 уха.

[tandser]

А если выразить словами результат умножения 1 на число, а потом записать это формулой?

Как говориться: "...Найти задачу - не меньшая радость, чем отыскать решение" :)

P. S. Математики! Очень Вас прошу, дайте конкретное решение, согласно условию, приведенному в этом сообщении. Заранее благодарен за Ваши ответы.

[dikun]

tandser писал(а):

Вместо квантора следовало записать символ отрицания (только вот каким-образом выпонить это в TeX'е)

Вот так.
"\neg x" (\neg x)