Канторова лестница

[bubu gaga]

Дана последовательность функций

$$ f_i(x) = \left\{ \begin{array}{l,l} \frac{1}{2} \, f_{i - 1}(3 x) & x \in \left[0, \frac{1}{3} \right] \\ \\ f_{i-1}(x) & x \in \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) \\ \\ \frac{1}{2} \, f_{i - 1}(3x - 2) + \frac{1}{2} & x \in \left[\frac{2}{3}, 1\right] \\ \end{array} \right. $$

1. Доказать, что она равномерно сходится
2. Доказать, что $f = \lim f_n$ - непрерывная, неубывающая функция на $[0, 1]$

Как это попроще сделать, без вывода нерекурсивной формулы для $f_i(x)$? Спасибо!

[ewert]

Разности $f_{i+1}-f_i$ равномерно убывают как геометрическая прогрессия, поэтому ряд $\sum_i(f_{i+1}-f_i)$ сходится равномерно -- во всяком случае, в $L_{\infty}$. Монотонность очевидна. С непрерывностью посложнее, с ходу ничего тривиального в голову не приходит, а должно бы быть, но уже пора убегать.