Большая просьба помочь!

[Justis]

помогите решить уравнение
3p^q+3q^p = n! ,где p, q - простые числа, а n - натуральное
Одну тройку решений(2;2;4) я нашел подбором. Как искать другие тройки и есть ли они вообще?

[Руст]

Других нет.
Если p=q получаем ваше решение.
Если p<q, то p<n, стало быть 3q делится на p. То есть остается проверить только случай 3=p<q>n. Тогда n!=3(3^q+q^3). Для минимально возможного варианта получаем n>5. Следовательно выражение слева делится на 9, а это приводит 3|q, что противоречит условию q>3 и простое.

[zkutch]

вообще-то 1 не считается простым числом а то можно было бы взять тройку (1;1;3) - а можно узнать откуда возникла задача?

[V.V.]

zkutch писал(а):

а можно узнать откуда возникла задача?

Заочная олимпиада МФТИ. Мои ученики тоже это решают.