Найти все определенные на

дважды дифференцируемые функции

такие, что

и

// Легко проверить, что

монотонно убывает, что в некоторой точке

. Так же легко проверить, что функция вида

удовлетворяют этому условию, но пока не получилось доказаться, что этими ф-ями класс решений исчерпывается.
Если продифференциировать тождество по x и взять

, то получится дифференциальное уравнение

, из которого у меня ничего полезного извлечь не получилось.
В каком направлении думать?