2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Функционально-дифференциальное уравнение - 2
Сообщение21.10.2008, 07:14 
Найти все определенные на $(0,\infty)$ дважды дифференцируемые функции $f(x)$ такие, что $f'(x) > 0$ и $f(f'(x)) = -f(x)$

// Легко проверить, что $f'(x)$ монотонно убывает, что в некоторой точке $f(x_0) = 0$. Так же легко проверить, что функция вида $f(x) = ln(x)$ удовлетворяют этому условию, но пока не получилось доказаться, что этими ф-ями класс решений исчерпывается.

Если продифференциировать тождество по x и взять $g(x) = f'(x)$, то получится дифференциальное уравнение $g(g(x))*g'(x) = -g(x)$, из которого у меня ничего полезного извлечь не получилось.

В каком направлении думать?

 
 
 
 
Сообщение21.10.2008, 08:49 
Вы очень много вывешиваете функционально-дифференциальных уравнений, а где Вы их берете, сли не секрет, откуда они пришли?

 
 
 
 
Сообщение21.10.2008, 09:25 
redhat
Нет, конечно, не секрет: это задача со всесоюзной по математике ( технической, кажется ), конкретнее - вот тут под №11. Тренируюсь так.

 
 
 
 
Сообщение21.10.2008, 10:25 
Обозначим $g(x)=f'(x)$. Подставив в уравнении вместо $x$ переменную $g(x)$ ($g(x)>0$, поэтому все хорошо), получим: $f(g(g(x)))=f(x)$. Поскольку $f$ строго монотонна, то отсюда следует, что
$g(g(x))=x$ (*).
Продифференцируем первоначальное уравнение по $x$, получим: $g(g(x))g'(x)=-g(x)$. Подставив сюда (*), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $xg'(x)=-g(x)$ относительно функции $g(x)=f'(x)$...

 
 
 
 
Сообщение21.10.2008, 10:48 
Аватара пользователя
Да вроде несложно.

По условию имеем $f(y) = -f(f'(y))$ для любого $y \in (0,+\infty)$. Подставляя сюда $y = f'(x)$, получаем $f(f'(x)) = -f(f'(f'(x)))$. Левая часть равенства равна $-f(x)$. Значит, $f(x) = f(f'(f'(x)))$. Так как $f$ монотонно возрастает, то она инъективна и, значит, $f'(f'(x)) = x$.

Далее, дифференцируя равенство $f(x) = -f(f'(x))$, имеем $f'(x) = -f'(f'(x)) f''(x) = -xf''(x)$. Отсюда

$$
-\frac{1}{x} = \frac{f''(x)}{f'(x)} = \left( \ln f'(x) \right)'
$$

Интегрируя обе части равенства, получаем

$$
\ln \frac{1}{x} = - \ln x = \ln f'(x) + C,
$$

$$
\frac{1}{x} = e^C \cdot f'(x)
$$

и

$$
f'(x) = \frac{D}{x},
$$

где $D = e^{-C}$ --- некоторая положительная константа. Интегрируя, в свою очередь, это равенство, имеем

$$
f(x) = D \ln x + E,
$$

где $E$ --- некоторая константа из $\mathbb{R}$. Теперь

$$
f(f'(x)) = D \ln \frac{D}{x} + E = D(\ln D - \ln x) + E = -D \ln x + (E + D \ln D)
$$

С другой стороны,

$$
f(f'(x)) = -f(x) = -D \ln x - E
$$

Значит, $E + D \ln D = -E$, $E = -D \ln D / 2$ и все решения задачи даются формулой

$$
f(x) = D \ln x - \frac{D \ln D}{2} = \frac{\ln F x}{F^2},
$$

где $F = 1/\sqrt{D}$ --- произвольная положительная константа.

Добавлено спустя 34 секунды:

Упс!.. Опередили :)

 
 
 
 
Сообщение21.10.2008, 10:54 
Mikhail Sokolov
Профессор Снэйп
Спасибо, разобрался! :)

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group