Доказательство неравенств (оценки факториала и логарифма)

[UnknownHERO]

Помогите доказать неравенства:
1)$(\frac{n}{e})^n<n!<e(\frac{n}{2})^n$

2)$\frac{1}{n+1}<\ln(1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}$

Спасибо за помощь.

[Brukvalub]

А какими средствами? Если разрешены формула Стирлинга и разложение в степ. ряд, то - тривиально.

[mkot]

Первое доказывается индукцией по $n$, замечая, что $(1 + 1/n)^n < e$.

[UnknownHERO]

Разложив $n!$ по формуле Стирлинга и сократив $n^n$ получаем

$\frac{1}{e^n}<\frac{\sqrt2Пn}{e^n}<\frac{e}{2^N}$ Что делать дальше?Что таое разложение в степенной ряд? Можно ли решить без формулы Стирлинга?

[mkot]

Выражение
$\frac{1}{n+1}<ln(1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}$
после преобразований приводится к виду
$(1 +\frac{1}{n})^n<e<(1 + \frac{1}{n})^{n+1}$.
Замечаем, что к этим последовательностям применима теорема о двух милиционерах,
так как левая последовательность возрастает, а правая -- убывает.

Цитата:

Можно ли решить без формулы Стирлинга?

По индукции, скорее всего с помощью бинома Ньютона.

[Джек]

Насправді цю нерівність можна довести значно простіше без використання "Стирлинга" і бінома Ньютона!!!
Використайте теорему Лагранжа!!!