2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Доказательство неравенств (оценки факториала и логарифма)
Сообщение19.10.2008, 19:05 
Помогите доказать неравенства:
1)$(\frac{n}{e})^n<n!<e(\frac{n}{2})^n$

2)$\frac{1}{n+1}<\ln(1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}$

Спасибо за помощь.

 
 
 
 
Сообщение19.10.2008, 19:14 
Аватара пользователя
А какими средствами? Если разрешены формула Стирлинга и разложение в степ. ряд, то - тривиально.

 
 
 
 
Сообщение19.10.2008, 19:29 
Аватара пользователя
Первое доказывается индукцией по $n$, замечая, что $(1 + 1/n)^n < e$.

 
 
 
 
Сообщение19.10.2008, 19:31 
Разложив $n!$ по формуле Стирлинга и сократив $n^n$ получаем

$\frac{1}{e^n}<\frac{\sqrt2Пn}{e^n}<\frac{e}{2^N}$ Что делать дальше?Что таое разложение в степенной ряд? Можно ли решить без формулы Стирлинга?

 
 
 
 
Сообщение19.10.2008, 19:40 
Аватара пользователя
Выражение
$\frac{1}{n+1}<ln(1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}$
после преобразований приводится к виду
$(1 +\frac{1}{n})^n<e<(1 + \frac{1}{n})^{n+1}$.
Замечаем, что к этим последовательностям применима теорема о двух милиционерах,
так как левая последовательность возрастает, а правая -- убывает.

Цитата:
Можно ли решить без формулы Стирлинга?

По индукции, скорее всего с помощью бинома Ньютона.

 
 
 
 
Сообщение26.10.2008, 12:35 
Насправді цю нерівність можна довести значно простіше без використання "Стирлинга" і бінома Ньютона!!!
Використайте теорему Лагранжа!!!

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group