Математическая статистика. Дисперсия середины размаха

[MarinaV]

Для дисперсии середины размаха равномерного распределения имеется формула. Как она получена? Помогите разобраться с задачей оценивания середины размаха для трапециевидного распределения.

[PAV]

Что такое "середина размаха"? Термин размах обозначает число, равное разности между максимальным и минимальным значениями выборки, а что такое середина размаха - не до конца понятно. Поясните.

Вообще же надо использовать технику работы с порядковыми статистиками. Вы умеете находить, например, распределение и характеристики минимума и максимума выборки?

В общем, напишите подробнее: формулировку утверждения, которое требуется получить, какие-то формулы и свои соображения. Тогда можно будет обсуждать непонятные моменты конкретнее.

Добавлено спустя 43 минуты 9 секунд:

По поводу исследования порядковых статистик было обсуждение в этой теме http://dxdy.ru/topic6563.html#56798

[ewert]

под "серединой размаха", естественно, понимается среднее между минимумом и максимумом. Стандартная же оценка для матожидания. Особливо для равномерного распределения. Вполне естественный жаргон, пусть и не вполне соответствующий стандартной терминологии -- а иначе что же это за жаргон?...

[PAV]

Это плохая оценка для математического ожидания, потому что не робастная, а также, скорее всего, не состоятельная. Она зависит только от двух наблюдений, а также чувствительна к выбросам. Фактически, при наличии возможных выбросов, она буде зависеть только от них, а не от "содержательных" наблюдений.

[--mS--]

PAV писал(а):

Это плохая оценка для математического ожидания, потому что не робастная, а также, скорее всего, не состоятельная. Она зависит только от двух наблюдений, а также чувствительна к выбросам. Фактически, при наличии возможных выбросов, она буде зависеть только от них, а не от "содержательных" наблюдений.

???

Это несмещённая, состоятельная, сильно состоятельная, чуть-чуть (самую малость) не наилучшая в среднеквадратичном смысле оценка. Минимум и максимум - это не два наблюдения, а функции от всей выборки. Выбросы - это совсем иная песня, не связанная с качествами оценки, построенной по выборке из уже данного распределения.

Upd: кажется, даже наилучшая в СКС - по крайней мере, лучшей найти не удалось Не знаю, правда, можно ли тут показать ее эффективность.

[PAV]

Хорошо, учту.

[MarinaV]

Именно так, середина размаха является эффективной оценкой центра таких распределений, как равномерное и, например, арксинусное.
Касательно распределения порядкових статистик… попалась сегодня формула для плотности вероятности наибольшего элемента выборки

$$ p_{Xn} (x_n ) = n[F_X (x_n )]^{n - 1} f(x_n ) $$

,
но попытка ее использовать для трапеции привела к нерешаемому интегралу
Р.S. Этот же вопрос я задала на другом форуме, где мне сделали замечание… Я была не в курсе , что это не очень красиво – задавать один вопрос на разных форумов.

[PAV]

Честно говоря, не вижу тут ничего некрасивого... Почитайте ту тему, ссылку на которую я дал, и подумайте, как найти совместную плотность распределения минимального и максимального элементов выборки.