олимпиада 8 класс - помогите решить

[Sasha Mor]

1. составить число 2008, используя одну единицу, две двойки, три тройки и знаки арифметических действий.
2. доказать, что при любом натуральном n число n3+3n2+6n+8 является составным
3. решить уравнение (х+1)*(х+2)*(х+3)*(х+4)=24
4. в треугольнике АВС биссектриса АЕ равна отрезку СЕ. Найти угол АВС, если АС=2АВ
5.Сто спортсменов выстроены в шеренгу. Каждый одет в синий или красный костюм. При этом, если спортсмен одет в красный костюм, то спортсмен, стоящий через девять человек от него, одет в синий костюм. Доказать, что в красные костюмы одеты не более 50 спортсменов.

[gris]

папа у Саши силён в математике...

[Brukvalub]

gris в сообщении #151412 писал(а):

папа у Саши силён в математике...

Лучше так: Форум у Саши силен в математике...

[Константин Корольков]

Sasha Mor писал(а):

3. решить уравнение (х+1)*(х+2)*(х+3)*(х+4)=24

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)
x^2+5x+5=t
t^2-1=24
и так далее

Sasha Mor писал(а):

2. доказать, что при любом натуральном n число n3+3n2+6n+8 является составным

n^3+3n^2+6n+8=n^3+3n^2+6n+9-1=n^3+4n^2+4n-n^2+2n-8=n(n+2)^2-(n+2)(n-4)=(n+2)(n^2+n+4)

[Батороев]

Sasha Mor писал(а):

2. доказать, что при любом натуральном n число n3+3n2+6n+8 является составным

Потому, что указанное число при любом натуральном $ n $ является четным, превышающим $ 2 $.

p.s. Интересно, сумеем ли мы всем Форумом в этой олимпиаде завоевать призовое место?

[Профессор Снэйп]

Sasha Mor писал(а):

4. в треугольнике АВС биссектриса АЕ равна отрезку СЕ. Найти угол АВС, если АС=2АВ

Пусть $\angle EAC = \alpha$, $|AB| = a$ и $|BE| = x$.

По условию $|AC| = 2a$. Так как $AE$ --- биссектрисса, то $|BE|/|EC| = |AB|/|AC|=1/2$ и $|EC|=2x$. По условию $|AE|$ также равно $2x$. Кроме того, $|CB| = |BE| + |EC| = 3x$.

Далее, треугольник $AEC$ равнобедренный и, значит, $\angle ECA = \angle EAC = \alpha$. Значит, $\angle AEC = \pi - 2\alpha$ и $\angle BEA = 2\alpha = \angle BAC$.

Из равенств $|BE|/|BA| = |EA|/|AC| = x/a$ и $\angle BEA = \angle BAC = 2\alpha$ заключаем, что треугольники $BEA$ и $BAC$ подобны. Из подобия получаем $x/a = |BE|/|BA| = |AB|/|CB| = a/3x$. Таким образом, $x = a/\sqrt{3}$ и $|BC| = 3x = \sqrt{3} a$.

Осталось заметить, что $|AB|^2 + |BC|^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2 = |AC|^2$. Таким образом, треугольник $ABC$ прямоугольный и угол $\angle ABC$ --- прямой.

[gris]

и я, и я хочу поучаствовать.
$223*3*3+1$

[Батороев]

Sasha Mor в сообщении #151387 писал(а):

4. в треугольнике АВС биссектриса АЕ равна отрезку СЕ. Найти угол АВС, если АС=2АВ

Когда б я учился в 8-м классе, то дополнительно провел бы перпендикуляр из т. $E$ на $AC$ и доказал бы, что все полученные треугольники равны и прямоугольны.

[gris]

а если б я учился в 9 классе, то написал бы
223,(1)*3*3

[Brukvalub]

Sasha Mor в сообщении #151387 писал(а):

5.Сто спортсменов выстроены в шеренгу. Каждый одет в синий или красный костюм. При этом, если спортсмен одет в красный костюм, то спортсмен, стоящий через девять человек от него, одет в синий костюм. Доказать, что в красные костюмы одеты не более 50 спортсменов.

Строим так: 9 чел. красных, затем 9 синих, потом опять 9 чел. красных и т.д. - всего 11 раз, и последний - синий-пресиний. Вот и построилось 54 красных-прекрасных, а условие - выполняется?
Интересно, что бы я сказал, если бы был Марьваной - учительницей восьмиклассников?

[Батороев]

Сказала бы: Иди к доске и нарисуй!

[gris]

Это обобщенная шеренга - она замкнута в кольцо. тогда можно 50 красных на четных местах. А вообще-то - через 9 значит, что пропускается 9 человек, то есть синий на 11 месте. значит 9к9с9к9с.... - не прокатит:(

[TOTAL]

Sasha Mor писал(а):

5.Сто спортсменов выстроены в шеренгу. Каждый одет в синий или красный костюм. При этом, если спортсмен одет в красный костюм, то спортсмен, стоящий через девять человек от него, одет в синий костюм. Доказать, что в красные костюмы одеты не более 50 спортсменов.

Если красных больше пятидесяти, то найдутся 6 красных, чьи номера имеют одинаковые остатки при делении на 10. Между каждыми двумя из этих красных стоят по крайнеё мере 19 человек, поэтому между крайними из этих шести красных стоят по крайней мере 99 человек, что противоречит условию.

[Профессор Снэйп]

gris писал(а):

А вообще-то - через 9 значит, что пропускается 9 человек, то есть синий на 11 месте. значит 9к9с9к9с.... - не прокатит:(

Почему на 11-ом? На 10-ом!

[gris]

я имел в виду, что если красный стоит на первом месте, то "его" синий будет стоять на 11-том. Между ними номера 2,3,4,5,6,7,8,9,10 - 9 человек. В задаче, вероятно, подразумевается именно это, иначе имеем контрпример.

Усредненному восьмикласснику скорее всего будет понятно немного адаптированное решение TOTAL.

Спортсменов нумеруем от 1 до 100. Расстояние (разность номеров) между двумя красными не может быть равно 10. Разобьем всех спортсменов на 10 групп по 10 человек. В первой группе номера 1,11, 21, ..., 91. Ну и так далее в соответствии с остатками от деления на 10. Между спортсменами из разных групп разность номеров не может равняться 10, поэтому размещение красных в каждой группе не зависит от других групп. Внутри каждой группы красные не могут стоять рядом (если построить эту группу отдельно). Значит они могут стоять только через одного. В каждой группе можно максимально разместить 5 красных, значит всего - 50.

Проверено на семикласснике, который додумался до решения после серии наводящих вопросов:)
Хотя школьников, которые посягают на олимпиадные задачи, полезно приучать к более "математическому" стилю, попутно ознакомляя с различными интересными понятиями. Например, в этой задаче - разбиение множества на классы, фактор множество.