найти целочисленную точку

[dmitrij-izmestev]

Ребята, привет!!!Несколько недель вишу над задачей:
"Найти челочисленную точку на кривой второго порядка", а именно найти целое Х для
у=(а+4х^2+2x)/(4х+1) (a - const любое).Ответьте: кто чем может. [e-mail] или тел. [phone] . Дмитрий

[Brukvalub]

Если а - иррациональное число, то какие там могут быть целые точки?

[shwedka]

Давайте преобразуем
$\frac{a+4x^2+2x}{4x+1}=\frac{4x^2+x+x+a}{4x+1}=x+\frac{x+a}{4x+1}$
Итак, целым числом должна быть последняя дробь. Попробуйте в том же духе дальше

[Батороев]

Основатель темы что-то не появляется.
А вот у меня любопытство осталось, что можно дальше сделать, чтобы при любых $a$ получить целочисленные точки?

[shwedka]

Продолжаем.
$\frac{x+a}{4x+1}$ должно быть целым. Отсюда видно, что для иррациональных а такое невозможно ни при каких х --- целых точек нет.

Едем дальше.
$\frac{x+a}{4x+1}= \frac{x+\frac14+a-\frac14}{4x+1}= \frac14+\frac14\frac{4a-1}{4x+1}$

Итак, видно, что результат деления $4a-1$ на $4x+1$ должно быть целым числом, дающим остаток -1 при делении на 4,
$\frac{4a-1}{4x+1}= 4z-1$ с целым $z$. Отсюда $a$ целое.
Итак, полный ответ.
Для нецелых $a$ целых точек на кривой нет.
Для целых $a$ берем произвольные делители нечетного числа $4a-1$ , имеющие форму $4x+1$ (таких есть хотя бы один, x=0). Эти $x$ и дают все решения. То есть, целых точек для данного $a$ столько, сколькоделителей нужной формы. В частности, для любого $a$ целых точек конечное число.