минимум вдоль прямой

[ShMaxG]

Помогите пожалуйста доказать, что функция

\[ u = \left( {y^2 - x} \right)\left( {y^2 - 2x} \right) \]

вдоль каждой прямой, проходящей через точку (0;0), имеет в этой точке минимум.

Я не понимаю, в каком пространстве надо рассматривать эти прямые, в пр-ве (x;y) или (x;y;u)?

Добавлено спустя 7 минут 38 секунд:

Или так. В плоскости (x;y) выбираем прямую y=kx, затем рассматриваем сечение плоскостью по этой прямой параллельно оси u. И в сечении получаем график у которого в 0 минимум.

[GAA]

Да. Подставляем $y=kx$ в $u = \left( {y^2 - x} \right)\left( {y^2 - 2x} \right)$ и ищем минимум функции одной независимой переменной $x$, т.е. минимум $u^*(x)$. Но потом, ещё, подставляем $x=0$ (прямая не попавшая в семейство $y=kx$) и ищем минимум $u^{**}(y)$.

[ShMaxG]

Спасибо.

[Алексей К.]

Общий случай, не делающмй никакой разницы между вертикальной и горизонтальной и прочими прямыми: $x=t\cos\alpha,\;y=t\sin\alpha$. Получаем $u(t)$ как объект анализа.

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Общий случай, не делающмй никакой разницы между вертикальной и горизонтальной и прочими прямыми: $x=t\cos\alpha,\;y=t\sin\alpha$. Получаем $u(t)$ как объект анализа.

Т.е здесь $\alpha$ - угол касательной к некоторой кривой с осью $x$ , а $t$ - некоторый параметр, так?
Так что "локально" можно выписывать элемент ( дифференциал) этой исследуемой кривой, правильно понимаю?

[ShMaxG]

e7e5

Нет.

\[ \alpha \]

- это угол между прямой с осью ОХ в плоскости (х,у). t- параметр. Мы как бы "проходимся" по значениям

\[ u\left( {t\cos \alpha ;t\sin \alpha } \right) \]

при фиксированном

\[ \alpha \]

. Тогда дифференциал du пропорционален только dt.

Другими словами, как я уже писал, мы рассматриваем сечение плоскостью, проходящей через эту прямую параллельно оси u, графика функции u(x,y). Теперь, в этой плоскости выделим ось u и ось-прямую. В этой плоскости получим график сечения, и функцию u(t), минимум которой мы и рассматриваем.