геометрия школьная... нужна идея... (окружность)

[Владимир_Руб]

На дуге окружности, стягиваемой хордой AD, взяты точки B и C. Биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке E. Точка E лежит на хорде AD. Отношение AD к CD равно k. Найти отношение AB к CD.

[Brukvalub]

На первый взгляд: ввести углы CAD, BDA, BAC и записать много теорем синусов, а также воспользоваться равенством:
AB x CD = BD x AC.

[Владимир_Руб]

все это уже делал... не помогает...

[ruth]

У меня есть подозрения, что АД - это диаметр описанной окружности.

[Nikita.bsu]

Легко показать, что $AB = AE$ и $CD = ED$. Отсюда имеем следующее
$\frac {AB}{CD} = \frac {AE} {ED} = \frac{AD - ED}{ED} = \frac{AD}{ED} - 1 = \frac{AD}{CD} - 1 = k -1$

[Андрей123]

Nikita.bsu писал(а):

Легко показать, что $AB = AE$ и $CD = ED$.

Это легко показать, если AD - диаметр, в противном же случае это не так.

[Nikita.bsu]

1)$\angle AEB = \angle CBE$ как накрестлежащие.
2)$\angle CBE = \angle ABE$ так как $BE$ - биссектриса
из 1) и 2) вытекает что $\angle ABE = \angle AEB$ седовательно треугольник $EAB$ - равнобедренный...

[Brukvalub]

Nikita.bsu в сообщении #150923 писал(а):

1)$\angle AEB = \angle CBE$ как накрестлежащие.

А разве речь идет про трапецию?

[Nikita.bsu]

Беру свои слова назад

[Андрей123]

Можно рассмотреть треугольники ABE,CDE,BEC. Во всех выписать теорему синусов. Потом получиться два уравнения выражающих искомую величину. Если с ними повозиться, думаю что-то получиться. Вечером попробую. Сейчас нету времени.

[Владимир_Руб]

Попробуйте конечно. У меня правда ничего толкового из этого не получилось...

[Dimoniada]

Nikita.bsu, вы почти правы. Это "известный" четырёхугольник для тех, кто много решал задач по геометрии Он обладает тем св-вом, что AB+CD=AD (достаточно описать около тр-ка BCE окружность и рассмотреть её точку пересечения с AD) Дальше всё очевидно.

[Владимир_Руб]

...то есть точка пересечения одна и это Е???

Добавлено спустя 6 минут 50 секунд:

сглупил...

Добавлено спустя 2 минуты 7 секунд:

.... но правда не понял еще как это доказать...

Добавлено спустя 36 минут 20 секунд:

но за идею спасибо

[TOTAL]

Продолжим $AB$ и $CD$ до пересечения в т. $O$.
Построим окружность с центром $E$, ксающуюся $AB, BC, CD$.
$OE$ - биссектриса угла $AOD$
Отрезок $PQ$ проходит через т.$E$, $PQ||BC$, $P$ - на $AB$, $Q$ - на $CD$.
Отрезок $MN$ касается окружности $E$, $MN||BC$, $M$ - на $AB$, $N$ - на $CD$.

Теперь:
$AD=PQ=(BC+MN)/2=(BM+CN)/2=PB+CQ=AB+CD$

[Батороев]

Владимир_Руб писал(а):

На дуге окружности, стягиваемой хордой AD, взяты точки B и C. Биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке E. Точка E лежит на хорде AD. Отношение AD к CD равно k. Найти отношение AB к CD.

Довести биссектрисы $BE$ и $ CE $ до пересечения с окружностью в точках $ F $ и $ G $ соответственно, а затем рассмотреть полученный шестиугольник $ABCDFG $ с попарно равными диагоналями $ AF=CF $ и $ BG = DG $ и что из этого дальше следует.