Найти предел функции

[KPEHgEJIb]

$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{1-\cos^3x}{x\sin(2x)}}$

$\cos^3x=\frac{3\cos x+\cos 3x}{4}$

$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{4-3\cos x+\cos3x}{x\sin(2x)}}$

И дальше становится ещё хуже. Как привести к виду первого замечательного предела? Через замену переменной тоже не выходит.

[вздымщик Цыпа]

А попробуйте $1 - \cos^3 x$ разложить на множители. Полегчает

[daogiauvang]

KPEHgEJIb писал(а):

${\lim}\limits_{x \to 0}{\frac{1-\cos^3x}{x\sin(2x)}}$

$\cos^3x=\frac{3cosx+\cos3x}{4}$

${\lim}\limits_{x \to 0}{\frac{4-3cosx+\cos3x}{x\sin(2x)}}$

И дальше становится ещё хуже. Как привести к виду первого замечательного предела? Через замену переменной тоже не выходит.

1. $ {\lim}\limits_{x \to 0} \frac{ (1-\cos x)(1+\cos x +\cos^2 x)}{2x^2} ={\lim}\limits_{x \to 0} \frac{ x^2/2(1+ \cos x+ \cos^2 x )}{2x^2} =\frac{3}{4}$

[arqady]

KPEHgEJIb писал(а):

${\lim}\limits_{x \to 0}{\frac{1-\cos^3x}{x\sin(2x)}}$

$$\lim_{x \to 0}{\frac{1-\cos^3x}{x\sin2x}$$

[Бодигрим]

Из разложения в ряд Тейлора $\cos^3 x = 1 - {3\over2}x^2 + O(x^4)$, $\sin 2x = 2x + O(x^3)$ в окрестности 0. Так что искомый предел равен $3/4$, если я не ошибся в арифметике.

[KPEHgEJIb]

Всем спасибо, разобрался