Уравнение Лапласа

[volodja]

Пусть функция $u \in C^\infty(\overline{\mathbf R^{N+1}_+})$, где $\mathbf R^{N+1} = \mathbf R^N \times (0,\infty)$, удовлетворяет уравнению

$$ \left\{ \begin{aligned} -\Delta u &= 0 && \text{ в } \mathbf R_+^{N+1}, \\ u & = 0 && \text{ на } \partial \mathbf R_+^{N+1}. \end{aligned} \right. $$

Пусть $u$ неотрицательна. Тогда доказать, что $u(x) = c \, x_n$ для некоторой константы $c\ge0$.

[redhat]

volodja писал(а):

Пусть функция $u \in C^\infty(\overline{\mathbf R^{N+1}_+})$, где $\mathbf R^{N+1} = \mathbf R^N \times (0,\infty)$, удовлетворяет уравнению

$$ \left\{ \begin{aligned} -\Delta u &= 0 && \text{ в } \mathbf R_+^{N+1}, \\ u & = 0 && \text{ на } \partial \mathbf R_+^{N+1}. \end{aligned} \right. $$

Пусть $u$ неотрицательна. Тогда доказать, что $u(x) = c \, x_n$ для некоторой константы $c\ge0$.

видимо преобразование Фурье нужно взять по первым $N$ переменным

[volodja]

Операция преобразования Фурье здесь не законна ввиду отсутствия какой-либо информации о росте функции $u$ на бесконечности.

[redhat]

volodja писал(а):

Операция преобразования Фурье здесь не законна ввиду отсутствия какой-либо информации о росте функции $u$ на бесконечности.

Конечно. Выложите пожалуйста решение.

[volodja]

К сожалению я пока не знаю как решать эту задачу.