Функции из L^2

[redhat]

Consider a function $u\in L^2(0,1)$. Suppose this function has the following property. For any $x\in (0,1)$ the exists a dense within $(0,1)$ set $M(x)$ such that if $y\in M(x)$ then $u(y)=u(x)$. Is it true that the function $u$ is equal a constant a.e.?

[nckg]

Пусть $D(x)$ --- функция Дирихле. Рассмотрим такую функцию:

$$f(x)=\begin{cases}D(x), & x< 1/2 \\ 1-D(x), & x\geqslant 1/2.\end{cases}$$

Она удовлетворяет Вашему свойству, но на $[0,1/2]$ она равна 1 п.в., а на $[1/2, 1]$ она равна 0 п.в.