2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 диффур
Сообщение12.10.2008, 19:48 
$l(m+m_2)x'' + 0.5m_1x'^2 + m_1xx'' + 2m_1gx + mgl = 0$
Уважаемые форумчане, подскажите метод решения пожалуйста.

 
 
 
 
Сообщение12.10.2008, 20:16 
Аналитический? При произвольных константах? Затрудняюсь...

 
 
 
 
Сообщение12.10.2008, 21:12 
знаю только ответ, но как придти к нему затрудняюсь

 
 
 
 
Сообщение12.10.2008, 23:17 
Аватара пользователя
Что за физика лежит под этим?

 
 
 
 Re: диффур
Сообщение13.10.2008, 01:01 
Sherpa писал(а):
$l(m_1+m_2)x'' + 0.5m_1x'^2 + m_1xx'' + 2m_1gx + mgl = 0$
Уважаемые форумчане, подскажите метод решения пожалуйста.

Это --- дифференциальное уравнение, в которое независимая переменная (наверное, $t$) не входит явным образом, что позволяет понизить порядок уравнения. Подстановку для понижения порядка можно найти почти в любом учебнике по дифференциальным уравнениям. (Слово "почти" поставил на всякий случай. Сам я такого учебника по дифференциальным уравнениям, в котором о такой подстановке ничего не сказано, не знаю.)
Sherpa писал(а):
знаю только ответ...

$$
\int
 \sqrt{
  \dfrac{m_1x+(m_1+m_2)l}{-2m_1gx^2-2mglx+C_1}
 }
\,\mathrm{d}x
=
t
,
$$
где $C_1$ --- первая произвольная константа (вторую дает неопределенный интеграл).

Такой ответ?

 
 
 
 
Сообщение13.10.2008, 13:37 
Ответ будет такой:
$$x = -\frac{ml}{m_1}+(l_0+\frac{ml}{m_1})\ch\sqrt{\frac{m_1g}{m+m_1+m_2}}t$$
где $$l_0$$ - начальная длина веревки.
Ещё небольшее изменения внёс в исходное условие: в первой скобке по ошибке написал массу с индексом вместо массы без индекса.

Физика в основе лежит следующая: висит барабан с намотанной на него верёвкой. Веревка имеет массу, и к её концу прикреплён груз. Нужно описать уравнение движения груза.

 
 
 
 
Сообщение13.10.2008, 14:47 
По-моему, уравнение выписано не верно. Если я правильно понял условие, то должно получиться такое уравнение: $(m_1+m_2+m)l x''=m_1gl+m_2gx$, где $m1$-масса груза, $m_2$ -масса веревки, $m$-масса барабана, $l$ - полная длина веревки.

 
 
 
 
Сообщение13.10.2008, 22:15 
Sherpa писал(а):
Ещё небольшее изменения внёс в исходное условие: в первой скобке по ошибке написал массу с индексом вместо массы без индекса.

Для измененного диференциального уравнения (ДУ) у меня получился следующий общий интеграл
$$
\int
 \sqrt{
  \dfrac{m_1x+(m+m_2)l}{-2m_1gx^2-2mglx+C_1}
 }
\,\mathrm{d}x
=
t
.
$$
Sherpa писал(а):
Ответ будет такой:
$$x = -\frac{ml}{m_1}+(l_0+\frac{ml}{m_1})\ch\sqrt{\frac{m_1g}{m+m_1+m_2}}t$$
где $$l_0$$ - начальная длина веревки.

А этот ответ больше похож на решение ДУ, о котором
Андрей123 писал(а):
По-моему, уравнение выписано не верно. Если я правильно понял условие, то должно получиться такое уравнение: $(m_1+m_2+m)l x''=m_1gl+m_2gx$, где $m1$-масса груза, $m_2$ -масса веревки, $m$-масса барабана, $l$ - полная длина веревки.

и общее решение которого имеет вид
$$
x 
= 
-
\frac{m_1l}{m_2}
+
C_1\ch\sqrt{\frac{m_2g}{m+m_1+m_2}}t
+
C_2\sh\sqrt{\frac{m_2g}{m+m_1+m_2}}t
.
$$

 
 
 
 
Сообщение14.10.2008, 12:43 
Да, спасибо.
Я выражал массу верёвки и барабана, как функции длины и сразу их подставлял в уравнение. Это было лишним. Именно такое уравнение, как у Андрея и получил.
Вопрос решен.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group