существует ли "сглаживающий" оператор

[nckg]

Здравствуйте!

Вот такая хитрая задачка - существует ли однопараметрическое семейство операторов
$S_h\colon C[0,1]\to C^1[a,b]$, где $[a,b]\Subset[0,1]$, $h\in(0,1)$, такое, что

$$\|I-S_h\|\to 0$$

при $h\to 0$?
Здесь $I$ - тождественный оператор $C[a,b]\to C[a,b]$, а норма

$$\|I-S_h\|$$

понимается как норма в пространстве линейных непрерывных операторов $C[a,b]\to C[a,b]$.

P.S. Усреднения по Соболеву (или Стеклову) не подходят (по крайней мере, мне не удалось доказать, что они этими свойствами обладают)
P.P.S. (Интересен также случай $[a,b]\equiv[0,1]$).

Уточнение от Пн Окт 13, 2008.
Операторы $S_h\colon C[0,1]\to C^1[a,b]$ предполагаются линейными и непрерывными.

[redhat]

nckg в сообщении #150104 писал(а):

P.S. Усреднения по Соболеву (или Стеклову) не подходят

подходят

[nckg]

Вы утвержаете, что усреднение по Стеклову подойдёт?

[nckg]

redhat писал(а):

nckg в сообщении #150104 писал(а):

P.S. Усреднения по Соболеву (или Стеклову) не подходят

подходят

Хорошо. Тогда найдите ошибку в следующих рассуждениях: (или приведите Ваши)
Рассмотрим семейство функций вида

$$f_H(x)=\begin{cases}|x/H|, & |x|<H\\ 1 & |x|\geqslant H \end{cases}$$

Пусть, например, $[a,b]=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$.

Ясно, что $\|f_H\|_{C[a,b]}=1$ (при достаточно малых $H$, точнее, при $H<1/2$).
Далее, пусть $S_h$ - оператор усреднения по Стеклову, т.е.

$$(S_h f)(x)=\frac{1}{h}\int_{-h/2}^{h/2}f(x+z)dz$$

Тогда

$$\|S_h-I\|=\sup_{\|f\|_{C[a,b]}=1}\|(S_h-I)f\| \geqslant \sup_{H>0}\|(S_h-I)f_H\|=$$

$$=\sup_{H>0}\sup_{x\in[a,b]}|((S_h-I)f_H)(x)|\geqslant \sup_{H>0}|((S_h-I)f_H)(0)|=$$

$$=\sup_{H>0}\left|\frac{1}{h}\int_{-h/2}^{h/2}(f_H(x+z)-f_H(x))|_{x=0}dz\right|= \sup_{H>0}\frac{1}{h}\int_{-h/2}^{h/2}f_H(z)dz=\sup_{H>0}\frac{1}{h}\left(h-\frac{H}{2}\right)=1.$$

Итак, мы получили, что $\|S_h-I\|\geqslant 1$ (при всех $h$), а значит усреднения по Стеклову не подходят.

[redhat]

Точные формулировки про усреднение по Стеклову содержатся у Канторовича Акилова Функциональный анализ(стр314 Москва Наука 1984). Что бы с помощью приближений по Стеклову получить усредняющий оператор надо сделать следующее.
1) $A:C[a,b]\to C(\mathbb{R})$ -- оператор продожающий функцию $f$ по непрерывности c отрезка $[a,b]$ до функции равной нулю вне отрезка $[a-c,b+c]$.
2) в качестве усредняющего оператора берем композицию $RS_hA$ где
$S_h$ -- усреднение по Стеклову из учебника Канторовича,
$R:C(\mathbb{R})\to C[a,b]$ -- сужение функции обратно на отрезок.
Построенный усредняющий оператор непрерывен в $C[a,b]$

[Андрей123]

По-моему подходит такое семейство:
$(S_hf)(x)=\frac{1}{h}\int\limits_{x}^{x+h}f(z)dz$

[nckg]

Андрей123 писал(а):

По-моему подходит такое семейство:
$S_hf=\frac{1}{h}\int\limits_{x}^{x+h}f(z)dz$

Фактически его мы и рассматриваем, сравните:

nckg писал(а):

$$(S_h f)(x)=\frac{1}{h}\int_{-h/2}^{h/2}f(x+z)dz$$

(Только на мой взгляд оно не подходит, см. приведённые выше рассуждения.)

redhat писал(а):

1) $A:C[a,b]\to C(\mathbb{R})$ -- оператор продожающий функцию $f$ по непрерывности c отрезка $[a,b]$ до функции равной нулю вне отрезка $[a-c,b+c]$.

Зачем продолжать, когда мы рассматриваем строго внутренний отрезок?
Напомню, что нужно:

nckg писал(а):

$S_h\colon C[0,1]\to C^1[a,b]$, где $[a,b]\Subset[0,1]$, $h\in(0,1)$,

redhat писал(а):

Построенный усредняющий оператор непрерывен в $C[a,b]$

Хорошо, но это не то, что требуется.
На мой взгляд, проблема в следуюшем:
да, усреднения по Стеклову - линейный и непрерывный оператор из $C[0,1]$ в $C^1[a,b]$,
и для любой непрерывной функции $f\in C[0,1]$
$S_hf\to f$ в $C[a,b]$ при $h\to 0$, т.е. $S_h \to I$ поточечно.
А нужна равномерная сходимость!

[redhat]

nckg в сообщении #150401 писал(а):

Хорошо, но это не то, что требуется.
На мой взгляд, проблема в следуюшем:
да, усреднения по Стеклову - линейный и непрерывный оператор из $C[0,1]$ в $C^1[a,b]$,
и для любой непрерывной функции $f\in C[0,1]$
$S_hf\to f$ в $C[a,b]$ при $h\to 0$, т.е. $S_h \to I$ поточечно.
А нужна равномерная сходимость!

что вы понимаете под равномерной сходимостью? на каком множестве равномерная сходимость?

[nckg]

redhat писал(а):

что вы понимаете под равномерной сходимостью? на каком множестве равномерная сходимость?

я имею в виду сходимость по операторной норме. У Канторовича и Акилова эта норма обозначается так:

$$\|A\|_{B(X,Y)}$$

(где $A\colon X \to Y$ - лин. непр.) (см. стр 176). Можете также посмотреть Треногина, у него это так и называется - "равномерная сх-ть операторов".

На самом деле я думаю, что требуемых операторов $S_h$ не существует, и это можно доказать примерно следующим образом (если будет время, распишу подробнее):
1) операторы $S_h$ были бы компактными (вполне непр.) как операторы из $C[0,1]$ в $C[a,b]$
2) у Канторовича я видел примерно такую теорему: если операторы $S_h\colon C[0,1]\to C[a,b]$ - компактны, и $S_h\to A$ равномерно (т.е. в операторной норме), то $A$ - компактен. Но в нашем случае $A\equiv I$ - тождественный оператор, который не является компактным. Противоречие, след-но таких $S_h$ не существует.