2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 существует ли "сглаживающий" оператор
Сообщение11.10.2008, 22:00 


22/12/07
229
Здравствуйте!

Вот такая хитрая задачка - существует ли однопараметрическое семейство операторов
$S_h\colon C[0,1]\to C^1[a,b]$, где $[a,b]\Subset[0,1]$, $h\in(0,1)$, такое, что
$$\|I-S_h\|\to 0$$ при $h\to 0$?
Здесь $I$ - тождественный оператор $C[a,b]\to C[a,b]$, а норма $$\|I-S_h\|$$ понимается как норма в пространстве линейных непрерывных операторов $C[a,b]\to C[a,b]$.

P.S. Усреднения по Соболеву (или Стеклову) не подходят :roll: (по крайней мере, мне не удалось доказать, что они этими свойствами обладают)
P.P.S. (Интересен также случай $[a,b]\equiv[0,1]$).

Уточнение от Пн Окт 13, 2008.
Операторы $S_h\colon C[0,1]\to C^1[a,b]$ предполагаются линейными и непрерывными.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.10.2008, 15:40 


10/10/08
53
nckg в сообщении #150104 писал(а):
P.S. Усреднения по Соболеву (или Стеклову) не подходят

подходят

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.10.2008, 22:37 


22/12/07
229
Вы утвержаете, что усреднение по Стеклову подойдёт?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.10.2008, 10:48 


22/12/07
229
redhat писал(а):
nckg в сообщении #150104 писал(а):
P.S. Усреднения по Соболеву (или Стеклову) не подходят

подходят


Хорошо. Тогда найдите ошибку в следующих рассуждениях: (или приведите Ваши) ;)
Рассмотрим семейство функций вида
$$f_H(x)=\begin{cases}|x/H|, & |x|<H\\ 1 & |x|\geqslant H \end{cases}$$
Изображение
Пусть, например, $[a,b]=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$.

Ясно, что $\|f_H\|_{C[a,b]}=1$ (при достаточно малых $H$, точнее, при $H<1/2$).
Далее, пусть $S_h$ - оператор усреднения по Стеклову, т.е.
$$(S_h f)(x)=\frac{1}{h}\int_{-h/2}^{h/2}f(x+z)dz$$
Тогда
$$\|S_h-I\|=\sup_{\|f\|_{C[a,b]}=1}\|(S_h-I)f\| \geqslant \sup_{H>0}\|(S_h-I)f_H\|=$$
$$=\sup_{H>0}\sup_{x\in[a,b]}|((S_h-I)f_H)(x)|\geqslant \sup_{H>0}|((S_h-I)f_H)(0)|=$$
$$=\sup_{H>0}\left|\frac{1}{h}\int_{-h/2}^{h/2}(f_H(x+z)-f_H(x))|_{x=0}dz\right|=
\sup_{H>0}\frac{1}{h}\int_{-h/2}^{h/2}f_H(z)dz=\sup_{H>0}\frac{1}{h}\left(h-\frac{H}{2}\right)=1.$$
Итак, мы получили, что $\|S_h-I\|\geqslant 1$ (при всех $h$), а значит усреднения по Стеклову не подходят.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.10.2008, 11:50 


10/10/08
53
Точные формулировки про усреднение по Стеклову содержатся у Канторовича Акилова Функциональный анализ(стр314 Москва Наука 1984). Что бы с помощью приближений по Стеклову получить усредняющий оператор надо сделать следующее.
1) $A:C[a,b]\to C(\mathbb{R})$ -- оператор продожающий функцию $f$ по непрерывности c отрезка $[a,b]$ до функции равной нулю вне отрезка $[a-c,b+c]$.
2) в качестве усредняющего оператора берем композицию $RS_hA$ где
$S_h$ -- усреднение по Стеклову из учебника Канторовича,
$R:C(\mathbb{R})\to C[a,b]$ -- сужение функции обратно на отрезок.
Построенный усредняющий оператор непрерывен в $C[a,b]$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.10.2008, 11:53 


01/12/06
463
МИНСК
По-моему подходит такое семейство:
$(S_hf)(x)=\frac{1}{h}\int\limits_{x}^{x+h}f(z)dz$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.10.2008, 12:23 


22/12/07
229
Андрей123 писал(а):
По-моему подходит такое семейство:
$S_hf=\frac{1}{h}\int\limits_{x}^{x+h}f(z)dz$

Фактически его мы и рассматриваем, сравните:
nckg писал(а):
$$(S_h f)(x)=\frac{1}{h}\int_{-h/2}^{h/2}f(x+z)dz$$

(Только на мой взгляд оно не подходит, см. приведённые выше рассуждения.)

redhat писал(а):
1) $A:C[a,b]\to C(\mathbb{R})$ -- оператор продожающий функцию $f$ по непрерывности c отрезка $[a,b]$ до функции равной нулю вне отрезка $[a-c,b+c]$.

Зачем продолжать, когда мы рассматриваем строго внутренний отрезок?
Напомню, что нужно:
nckg писал(а):
$S_h\colon C[0,1]\to C^1[a,b]$, где $[a,b]\Subset[0,1]$, $h\in(0,1)$,



redhat писал(а):
Построенный усредняющий оператор непрерывен в $C[a,b]$

Хорошо, но это не то, что требуется.
На мой взгляд, проблема в следуюшем:
да, усреднения по Стеклову - линейный и непрерывный оператор из $C[0,1]$ в $C^1[a,b]$,
и для любой непрерывной функции $f\in C[0,1]$
$S_hf\to f$ в $C[a,b]$ при $h\to 0$, т.е. $S_h \to I$ поточечно.
А нужна равномерная сходимость!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.10.2008, 12:53 


10/10/08
53
nckg в сообщении #150401 писал(а):
Хорошо, но это не то, что требуется.
На мой взгляд, проблема в следуюшем:
да, усреднения по Стеклову - линейный и непрерывный оператор из $C[0,1]$ в $C^1[a,b]$,
и для любой непрерывной функции $f\in C[0,1]$
$S_hf\to f$ в $C[a,b]$ при $h\to 0$, т.е. $S_h \to I$ поточечно.
А нужна равномерная сходимость!

что вы понимаете под равномерной сходимостью? на каком множестве равномерная сходимость?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.10.2008, 13:06 


22/12/07
229
redhat писал(а):
что вы понимаете под равномерной сходимостью? на каком множестве равномерная сходимость?

я имею в виду сходимость по операторной норме. У Канторовича и Акилова эта норма обозначается так: $$\|A\|_{B(X,Y)}$$ (где $A\colon X \to Y$ - лин. непр.) (см. стр 176). Можете также посмотреть Треногина, у него это так и называется - "равномерная сх-ть операторов".

На самом деле я думаю, что требуемых операторов $S_h$ не существует, и это можно доказать примерно следующим образом (если будет время, распишу подробнее):
1) операторы $S_h$ были бы компактными (вполне непр.) как операторы из $C[0,1]$ в $C[a,b]$
2) у Канторовича я видел примерно такую теорему: если операторы $S_h\colon C[0,1]\to C[a,b]$ - компактны, и $S_h\to A$ равномерно (т.е. в операторной норме), то $A$ - компактен. Но в нашем случае $A\equiv I$ - тождественный оператор, который не является компактным. Противоречие, след-но таких $S_h$ не существует.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group