Как проще решить уравнение

[Ulya]

Как проще решить такое уравнение?

$$ (1-i)(i-z)^5 = (1+i)(i+z)^5 $$

[PAV]

Я бы, наверное, извлек корни пятой степени из числа $\frac{1+i}{1-i}$ (предварительно записав его в классическом виде).

[AD]

$$ -(1-i)(z-i)^5 = (1+i)(i+z)^5 $$

.
Сопряжем одновременно левую и правую части:

$$ (1+i)(-i-\bar z)^5 = (1-i)(-i+\bar z)^5 $$

,
т.е.

$$ -(1-i)(\bar z-i)^5=(1+i)(i+\bar z)^5$$

.
Значит, тут $z$ - корень тогда и только тогда, когда $\bar z$ - корень. То есть это уравнение с вещественными коэффициентами.

[Ulya]

PAV, ну это есть $e^{-\frac{pi}{2}i}$. Будет 5 корней. Но слева-то останется

$$ \frac{i+z}{i-z} $$

Добавлено спустя 2 минуты 42 секунды:

Цитата:

То есть это уравнение с вещественными коэффициентами.

а дальше что?

[PAV]

Ulya писал(а):

PAV, ну это есть $e^{-\frac{pi}{2}i}$. Будет 5 корней. Но слева-то останется

$$ \frac{i+z}{i-z} $$

Ну и получается простое линейное уравнение.

[Ulya]

Цитата:

То есть это уравнение с вещественными коэффициентами.

Цитата:

Ну и получается простое линейное уравнение.

При таком раскладе при $k=0$ у меня получается комплексное решение (1 корень):

$$ z = i \cdot \frac{e^{-\frac{\pi}{2}i}-1}{e^{-\frac{\pi}{2}i}+1} = -i $$

[PAV]

Простая подстановка в уравнение показывает, что равенство не получается. Так что где-то ошибка, проверьте все свои выкладки.

[Ulya]

$$ z = i \cdot \frac{e^{-\frac{\pi}{10}i}-1}{e^{-\frac{\pi}{10}i}+1} $$

Добавлено спустя 1 минуту 8 секунд:

тоже не подходит ((

[Someone]

Ulya в сообщении #150110 писал(а):

тоже не подходит

А почему?

P.S. Это выражение равно $1+\sqrt{5}-\sqrt{5+2\sqrt{5}}$.